Progresión xeométrica

En matemáticas, unha progresión xeométrica é unha sucesión de números onde cada termo despois do primeiro atópase multiplicando o anterior por un número fixo diferente de cero denominado razón. Por exemplo, a sucesión 2, 6, 18, 54, ... é unha progresión xeométrica de razón 3. Analogamente 10, 5, 2.5, 1.25, ... é unha progresión xeométrica de razón 1/2.

Diagrama que representa tres sucesións de termo xeral 1(rⁿ⁻¹) ata 6 iteracións. O primeiro bloque é unha unidade e a liña é a suma infinita da sucesión: 2, 3/2 e 4/3

Exemplos de sucesións xeométricas son as potencias r^k dun número determinado r, como 2^k]] e 3^k. A forma xeral dunha sucesión xeométrica é

$a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4},\ \ldots$

onde r ≠ 0 é a razón e a é o factor de escala, igual ao primeiro valor da sucesión.

Propiedades elementais

O termo n-ésimo dunha progresión xeométrica con valor a e razón r vén dado por

$a_{n}=a\,r^{n-1}.$

Unha progresión xeométrica segue a relación recursiva

$a_{n}=r\,a_{n-1}$ for every integer $n\geq 1.$

En xeral, para comprobar se unha sucesión é xeométrica, abonda con comprobar se cada un dos termos consecutivos teñen a mesma razón.

A razón dunha progresión xeométrica pode ser negativa, dando lugar a unha sucesión alternada, con números positivos e negativos alternativamente. Por exemplo

1, −3, 9, −27, 81, −243, …

é unha progresión xeométrica de razón −3.

O comportamento dunha progresión xeométrica depende do valor da razón. Se esta é:

• Positiva, os termos terán o mesmo signo que o inicial.
• Negativa, os termos terán signos alternos.
• Maior que 1, terá crecemento exponencial cara a máis ou menos infinito, dependendo do signo do primeiro termo.
• 1, a progresión será unha sucesión constante.
• Entre -1 e 1, pero non cero, sufrirá decrecemento exponencial cara ao cero.
• −1, a progresión será unha sucesión alternada.
• Menor que -1, os valores absolutos dos termos crecerán exponencialmente cara ao infinito.

As progresión xeométricas (con razón diferente a −1, 1 ou 0) amosan crecemento o decrecemento exponencial, en oposición ao crecemento ou decrecemento linear dunha progresión aritmética como 4, 15, 26, 37, 48, … (con diferenza 11). Este resultado foi tomado por T.R. Malthus como fundamento matemático da súa obra Principle of Population.

Un resultado interesante das progresións xeométricas é que para cada valor da razón común, tres termos consecutivos a, b e c satisfarán a ecuación

$b^{2}=ac$

onde b se considera a media xeométrica entre a e c.

Series xeométricas

	2	+	10	+	50	+	250			=	312
− (			10	+	50	+	250	+	1250	=	5 × 312 )
	2							−	1250	=	(1 − 5) × 312

Cálculo da suma 2 + 10 + 50 + 250. A sucesión consiste en multiplicar termo a termo por 5, e logo subtraer da sucesión orixinal. Permanencen dous termos: o primeiro termo, a, e o termo seguinte ao último, ar^m. O resultado desexado, 312, atópase subtraendo estes dous termos e dividindo por 1 − 5.

Unha serie xeométrica é a suma dos termos dunha progresión xeométrica. Por exemplo:

$2+10+50+250=2+2\times 5+2\times 5^{2}+2\times 5^{3}.\,$

Se a é o primeiro termo (neste caso 2), n o número de termos (aquí 4) e r a constante pola que se multiplica cada termo para atopar o seguinte (aquí 5), a suma vén dada por:

${\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}$

No exemplo anterior, resulta:

$2+10+50+250={\frac {2(1-5^{4})}{1-5}}={\frac {-1248}{-4}}=312.$

A fórmula funciona para calquera números reais a e r (agás r = 1, que resulta nunha división entre cero). Por exemplo:

$-2\pi +4\pi ^{2}-8\pi ^{3}=-2\pi +(-2\pi )^{2}+(-2\pi )^{3}={\frac {-2\pi (1-(-2\pi )^{3})}{1-(-2\pi )}}={\frac {-2\pi (1+8\pi ^{3})}{1+2\pi }}\approx -214.855.$

Derivación

Para derivar a fórmula escríbese primeiro unha serie xeométrica como:

$\sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}.\,$

Pódese atopar unha fórmula máis simple para a suma multiplicando ambos os membros da ecuación superior por 1 − r, e verase que

${\begin{aligned}(1-r)\sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}&=(1-r)(ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1})\\&=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}-ar^{1}-ar^{2}-ar^{3}-\cdots -ar^{n-1}-ar^{n}\\&=a-ar^{n}\end{aligned}}$

posto que todos os outros termos se cancelan. Se r ≠ 1, pódese reordenar a expresión superior para conseguir a fórmula conveniente dunha serie xeométrica que calcule a suma de n termos:

$\sum _{k=1}^{n}ar^{k-1}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}.$

Fórmulas relacionadas

Se a suma non comezase en k=1, senón nun índice diferente m, entón

$\sum _{k=m}^{n}ar^{k}={\frac {a(r^{m}-r^{n+1})}{1-r}}.$

Derivando esta fórmula respecto de r pódese chegar ás fórmulas das dumas da forma

$\sum _{k=0}^{n}k^{s}r^{k}.$

Por exemplo:

${\frac {d}{dr}}\sum _{k=0}^{n}r^{k}=\sum _{k=1}^{n}kr^{k-1}={\frac {1-r^{n+1}}{(1-r)^{2}}}-{\frac {(n+1)r^{n}}{1-r}}.$

Para series xeométricas que conteñen só potencias de r multiplicadas por 1 − r²  :

$(1-r^{2})\sum _{k=0}^{n}ar^{2k}=a-ar^{2n+2}.$

Entón

$\sum _{k=0}^{n}ar^{2k}={\frac {a(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}.$

Equivalentemente, tomando r²  como a razón e empregando a formulación estándar.

Para unha serie que só ten potencias impares de r

$(1-r^{2})\sum _{k=0}^{n}ar^{2k+1}=ar-ar^{2n+3}$

e

$\sum _{k=0}^{n}ar^{2k+1}={\frac {ar(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}.$

Series xeométricas infinitas

Unha serie xeométrica infinita é unha serie infinita con termos consecutivos que teñen unha razón común. Estas series converxen se e só se o valor absoluto da razón é menor que 1 (|r| < 1). O valor pode ser calculado coas fórmulas

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}=\lim _{n\to \infty }{\sum _{k=0}^{n}ar^{k}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}-\lim _{n\to \infty }{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}$

Diagrama que amosa a serie xeométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ que converxe a 2.

Dado que:

$r^{n+1}\to 0{\mbox{ as }}n\to \infty {\mbox{ when }}|r|<1.$

Entón:

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}-0={\frac {a}{1-r}}$

Para unha serie que contén só potencias pares de $r$,

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k}={\frac {a}{1-r^{2}}}$

e se só contén potencias impares,

$\sum _{k=0}^{\infty }ar^{2k+1}={\frac {ar}{1-r^{2}}}$

Nos casos nos que a suma non comeza en k = 0,

$\sum _{k=m}^{\infty }ar^{k}={\frac {ar^{m}}{1-r}}$

As fórmulas dadas arriba só son válidas para |r| < 1. A última fórmula é válida en toda álxebra de Banach, cando a norma de r sexa menor ca 1, e tamén no corpo dos números p-ádicos |r|_p < 1. No caso dunha suma finita pódese diferenciar para calcular as fórmulas das sumas relativas. Por exemplo,

${\frac {d}{dr}}\sum _{k=0}^{\infty }r^{k}=\sum _{k=1}^{\infty }kr^{k-1}={\frac {1}{(1-r)^{2}}}$

Esta fórmula só funciona para |r| < 1. De aquí séguese que, para |r| < 1,

$\sum _{k=0}^{\infty }kr^{k}={\frac {r}{\left(1-r\right)^{2}}}\,;\,\sum _{k=0}^{\infty }k^{2}r^{k}={\frac {r\left(1+r\right)}{\left(1-r\right)^{3}}}\,;\,\sum _{k=0}^{\infty }k^{3}r^{k}={\frac {r\left(1+4r+r^{2}\right)}{\left(1-r\right)^{4}}}$

Tamén a serie infinita 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ é un exemplo elemental dunha serie que converxe absolutamente.

É unha serie xeométrica con primeiro termo igual a 1/2 e razón 1/2, logo a súa suma é

${\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1/2}{1-(+1/2)}}=1.$

A serie 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ é un exemplo sinxelo dunha serie alternada que converxe absolutamente.

É unha serie xeométrica con primeiro termo e razón −1/2, polo que a súa suma é

${\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1/2}{1-(-1/2)}}={\frac {1}{3}}.$

Número complexos

A fórmula da suma de series xeométricas é válida mesmo cando a razón é un número complexo. Neste caso a condición de que o valor absoluto de r sexa menor que 1 convértese en que o módulo de r sexa menor que 1. É posible calcular as sumas dalgunhas series xeométricas non obvias. Por exemplo, considérese a proposición

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {r\sin(x)}{1+r^{2}-2r\cos(x)}}$

A demostración procede do feito de que

$\sin(kx)={\frac {e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}},$

que é consecuencia da fórmula de Euler. Substituíndo na serie orixinal

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {1}{2i}}\left[\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{ix}}{r}}\right)^{k}-\sum _{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{-ix}}{r}}\right)^{k}\right]$.

Esta é a diferenza entre dúas series xeométricas, e é unha aplicación directa da fórmula das series infinitas xeométricas que completa a demostración.

Produto

O produto dunha progresión xeométrica é o produto dos seus termos. Se todos os termos son positivos entón pode calcularse rapidamente tomando a media xeométrica do primeiro e do último termo da progresión e elevando o valor á potencia dada polo número de termos:

$\prod _{i=0}^{n}ar^{i}=\left({\sqrt {a_{0}\cdot a_{n}}}\right)^{n+1}$ (if $a,r>0$).

Demostración:

Sexa P o produto:

$P=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}$.

Realizando as multiplicacións, conclúese que

$P=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+(n)}$.

Aplicando a suma dunha serie aritmética, a expresión resultará

$P=a^{n+1}r^{\frac {n(n+1)}{2}}$.

$P=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}$.

Elevando ao cadrado ambos os membros:

$P^{2}=(a^{2}r^{n})^{n+1}=(a\cdot ar^{n})^{n+1}$.

Consecuentemente,

$P^{2}=(a_{0}\cdot a_{n})^{n+1}$ and

$P=(a_{0}\cdot a_{n})^{\frac {n+1}{2}}$,

que conclúe a demostración.

Relación entre as progresións xeométricas e a obra de Euclides

Os libros VIII e IX dos Elementos de Euclides analizan as progresións xeométricas e dan varios exemplos das súas propiedades.

Véxase tamén

Bibliografía

• Hall & Knight, Higher Algebra, p. 39, ISBN 81-8116-000-2

Outros artigos

• Progresión aritmética

Ligazóns externas

• Derivation of formulas for sum of finite and infinite geometric progression at Mathalino.com
• Geometric Progression Calculator
• Nice Proof of a Geometric Progression Sum at sputsoft.com