Abrir o menú principal

Progresión aritmética

En matemáticas, unha progresión aritmética é unha sucesión de números que cumpre que a diferenza entre dous termos consecutivos é constante. Por exemplo, a sucesión 5, 7, 9, 11, 13, 15. . . é unha progresión aritmética con diferenza 2.

Se o termo inicial dunha progresión aritmética é e a diferenza é d, entón o termo n-ésimo da sucesión () vén dado por:

,

e en xeral

.

O comportamento dunha progresión aritmética depende da diferenza d:

  • Se é positiva os termos crecerán ata máis infinito.
  • Se é negativa, os termos irán cara ao menos infinito.

SumaEditar

2 + 5 + 8 + 11 + 14 = 40
14 + 11 + 8 + 5 + 2 = 40

16 + 16 + 16 + 16 + 16 = 80

Cálculo da suma 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Cando a sucesión se escribe ao revés e se suma termo a termo, a sucesión resultante ten un único valor repetido, igual á suma do primeiro e o último número (2 + 14 = 16). Así, 16 × 5 = 80 é o dobre da suma.

A suma dos membros dunha progresión aritmética chámase serie aritmética. Por exemplo, considera a suma:

 

Esta suma pode atoparse rapidamente tomando o número de termos que se queren sumar (no exemplo, 5), multiplicándoos pola suma do primeiro e do último número da progresión (aquí 2 + 14 = 16) e dividindo entre 2:

 

No caso superior dá a ecuación:

 

Esta fórmula funciona para calquera números reais   e  . Por exemplo:

 

DerivationEditar

 
Proba animada da fórmula que dá a suma dos primeiros enteiros 1+2+...+n.

Para derivar a fórmula superior, comeza por expresar a serie aritmética de dúas formas diferentes:

 
 

Engadindo en ambos os membros as dúas ecuacións desaparecen todos os termos con d:

 

Dividindo ambos os membros entre 2 aparece a ecuación:

 

Unha forma alternativa aparece volvendo substituír:  :

 

Ademais, o valor medio da serie pode calcularse como:  :

 

No ano 499 o matemático e astrónomo indio Aryabhata publicou este método no Aryabhatiya (sección 2.18).

ProdutoEditar

O produto dos termos dunha progresión aritmética finita que comeza con a1, ten diferenza d, e n elementos está determinado pola expresión

 

onde   denota o factorial crecente e   a función gamma. Porén, a fórmula non é válida se  é un enteiro negativo ou cero.

Isto é unha xeneralización do feito de que o produto da progresión   vén dado polo factorial   e que o produto

 

para enteiros positivos   e   vén dado por

 

No exemplo superior, o produto dos 50 primeiros termos da progresión aritmética dada por an = 3 + (n-1)(5) é

 

Desviación típicaEditar

A desviación típica dalgunha parte das progresións aritméticas pode calcularse mediante:

 

onde   é o número de termos da progresión e   a diferenza entre os termos.

Véxase taménEditar

BibliografíaEditar

  • Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). Fibonacci's Liber Abaci. Springer-Verlag. pp. 259–260. ISBN 0-387-95419-8. 

Outros artigosEditar