Sucesión (matemáticas)

En matemáticas, unha sucesión ou secuencia é unha colección enumerada de obxectos na que se permiten as repeticións e importa a orde. Como un conxunto, contén membros (tamén chamados elementos ou termos). O número de elementos (posiblemente infinito ) chámase lonxitude da secuencia. A diferenza dun conxunto, os mesmos elementos poden aparecer varias veces en diferentes posicións nunha secuencia e, a diferenza dun conxunto, a orde importa. Formalmente, unha secuencia pódese definir como unha función desde os números naturais (as posicións dos elementos na secuencia) ata os elementos en cada posición. A noción de secuencia pódese xeneralizar a unha familia indexada, definida como unha función a partir dun conxunto de índices arbitrario.

Por exemplo, (M, I, R, E) é unha secuencia de letras coa letra "M" primeiro e "E" por último. Esta secuencia difire de (I, R, M, E). Ademais, a secuencia (1, 1, 2, 3, 5, 8), que contén o número 1 en dúas posicións diferentes, é unha secuencia válida. As secuencias poden ser finitas, como nestes exemplos, ou infinitas, como a secuencia de todos os enteiros pares positivos (2, 4, 6, ...).

A posición dun elemento nunha secuencia é o seu índice. O primeiro elemento ten un índice 0 ou 1, dependendo do contexto ou dunha convención específica. Na análise matemática, unha secuencia adoita denotarse mediante letras en forma de $a_{n}$ , $b_{n}$ e $c_{n}$ , onde o subíndice n refírese ao n ésimo elemento da secuencia; por exemplo, o n-ésimo elemento da sucesión de Fibonacci $F$ denotase xeralmente como $F_{n}$ .

Notación e exemplos

Existen varias formas de denotar unha secuencia. Unha forma de especificar unha secuencia é enumerar todos os seus elementos. Por exemplo, os catro primeiros números impares forman a secuencia (1, 3, 5, 7). Esta notación úsase tamén para secuencias infinitas. Por exemplo, a secuencia infinita de enteiros positivos impares escríbese como (1, 3, 5, 7, ...), usando puntos suspensivos.

Exemplos

Os números primos son os números naturais maiores que 1 que non teñen divisores senón 1 e eles mesmos. Tomando estes na súa orde natural dáse a secuencia (2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...).

Os números de Fibonacci comprenden a secuencia enteira cuxos elementos son a suma dos dous elementos anteriores. Os dous primeiros elementos son 0 e 1 ou 1 e 1 polo que temos a secuencia (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...).^[1]

Outros exemplos de secuencias inclúen aquelas formadas por números racionais, números reais e números complexos. A secuencia (.9, .99, .999, .9999, ...), por exemplo, achégase ao número 1. Outro exemplo pode ser $π$ como o límite da secuencia (3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, ...), que é crecente. Unha secuencia relacionada é a secuencia de díxitos decimais de $π$ , é dicir, (3, 1, 4, 1, 5, 9, ...). Esta secuencia non ten ningún modelo que sexa facilmente discernible mediante a inspección.

A OEIS comprende unha gran lista de exemplos de secuencias de enteiros.

Indexación

Outras notacións poden ser útiles para secuencias cuxo modelo non se pode adiviñar facilmente ou para secuencias que non teñen un modelo como os díxitos de $π$ . Unha destas notacións é escribir unha fórmula xeral para calcular o n-ésimo termo en función de n, encerrala entre parénteses e incluír un subíndice que indique o conxunto de valores que n pode tomar. Por exemplo, nesta notación a secuencia de números pares podería escribirse como ${\textstyle (2n)_{n\in \mathbb {N} }}$ . A secuencia de cadrados podería escribirse como ${\textstyle (n^{2})_{n\in \mathbb {N} }}$ . A variable n chámase índice e o conxunto de valores que pode tomar chámase conxunto de índices.

Unha notaciónn máis pode ser ${\textstyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ , que denota unha secuencia cuxo n-ésimo elemento vén dado pola variable $a_{n}$ . Por exemplo:

{\begin{aligned}a_{1}&=1{\text{º elemento de }}(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }\\a_{2}&=2{\text{º elemento }}\\a_{3}&=3{\text{º elemento }}\\&\;\;\vdots \\a_{n-1}&=(n-1){\text{-ésimo elemento}}\\a_{n}&=n{\text{-ésimo elemento}}\\a_{n+1}&=(n+1){\text{-ésimo  elemento}}\\&\;\;\vdots \end{aligned}}

Pódense considerar varias secuencias ao mesmo tempo empregando diferentes variables; p.ex ${\textstyle (b_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ podería ser unha secuencia diferente á ${\textstyle (a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ .

A secuencia ${\textstyle {(a_{n})}_{n=-\infty }^{\infty }}$ é unha secuencia bi-infinita, e tamén se pode escribir como ${\textstyle (\ldots ,a_{-1},a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )}$ .

Nalgúns casos, os elementos da secuencia están relacionados naturalmente cunha secuencia de enteiros cuxa fórmula pode ser facilmente deducida. Nestes casos, o conxunto de índices pode estar implicado por unha lista dos primeiros elementos abstractos. Por exemplo, a secuencia de cadrados de números impares pódese denotar de calquera das seguintes formas.

$(1,9,25,\ldots )$
$(a_{1},a_{3},a_{5},\ldots ),\qquad a_{k}=k^{2}$
${(a_{2k-1})}_{k=1}^{\infty },\qquad a_{k}=k^{2}$
${(a_{k})}_{k=1}^{\infty },\qquad a_{k}=(2k-1)^{2}$
${\bigl (}(2k-1)^{2}{\bigr )}_{k=1}^{\infty }$

Definición dunha secuencia por recursividade

As secuencias cuxos elementos están relacionados cos elementos anteriores dun xeito sinxelo adoitan definirse mediante recursividade. Isto contrasta coa definición de secuencias de elementos en función das súas posicións.

A secuencia de Fibonacci é un exemplo clásico sinxelo, definido pola relación de recorrencia

a_{n}=a_{n-1}+a_{n-2},

con termos iniciais $a_{0}=0$ e $a_{1}=1$ . A partir disto, un simple cálculo mostra que os dez primeiros termos desta secuencia son 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 e 34.

Unha recorrencia linear con coeficientes constantes é unha relación de recorrencia da forma

a_{n}=c_{0}+c_{1}a_{n-1}+\dots +c_{k}a_{n-k},

onde $c_{0},\dots ,c_{k}$ son constantes. Existe un método xeral para expresar o termo xeral $a_{n}$ de tal secuencia en función de $n$ . No caso da secuencia de Fibonacci, temos $c_{0}=0,c_{1}=c_{2}=1,$ e a función resultante de $n$ vén dada pola fórmula de Binet.

Definición formal e propiedades básicas

Definición

Unha sucesión é unha función definida sobre o conxunto dos números naturais agás o cero. É frecuente o uso das letras u, v, w... para designalas, no canto de f, g, h... que serven para as funcións. Do mesmo xeito, a variable denótase normalmente n (por natural) no canto de x, habitual para as variables reais. Por convención, escríbese $u_{n}$ no canto de u(n):

$u:\mathbb {N} *\rightarrow \mathbb {R}$

n\rightarrow u_{n}

Finita e infinita

A lonxitude dunha secuencia defínese como o número de termos da secuencia.

As secuencias finitas inclúen a secuencia baleira ( ) que non ten elementos.

Unha secuencia que é infinita en ambas direccións, é dicir, que non ten nin un primeiro nin un elemento final, chámase secuencia bi-infinita ou secuencia infinita bidireccional Unha función do conxunto Z de todos os enteiros nun conxunto, como por exemplo a secuencia de todos os enteiros pares ( ..., −4, −2, 0, 2, 4, 6, 8, ... ), é bi-infinito. Esta secuencia podería ser denotada ${\textstyle {(2n)}_{n=-\infty }^{\infty }}$ .

Crecente e decrecente

Dise que unha secuencia é monótonamente crecente se cada termo é maior ou igual que o anterior. Por exemplo, a secuencia ${\textstyle {(a_{n})}_{n=1}^{\infty }}$ aumenta monótonamente se e só se ${\textstyle a_{n+1}\geq a_{n}}$ para todos $n\in \mathbf {N} .$ Se cada termo consecutivo é estritamente maior que (>) o termo anterior, entón a secuencia chámase estritamente crecente monótonamente. Unha secuencia é decrecente monótonamente se cada termo consecutivo é menor ou igual ao anterior, e é decrecente monótonamente se cada un é estritamente menor que o anterior. Se unha secuencia é crecente ou decrecente chámase secuencia monótona. Este é un caso especial da noción máis xeral dunha función monótona.

Os termos non decrecente e non crecente úsanse a miúdo en lugar de crecente e decrecente para evitar calquera posible confusión con estritamente crecente e estritamente decrecente, respectivamente.

Limitada

Se a secuencia de números reais (a_n) é tal que todos os termos son menores que algún número real M, entón dise que a secuencia está limita superiormente. Noutras palabras, isto significa que existe M tal que para todo n, a _n ≤ M. Calquera tal M denomínase límite superior. Do mesmo xeito, se, para algún m real, un _n ≥ m para todo n maior que algún N, daquela a secuencia está limitada inferiormente e calquera tal m denomínase límite inferior. Se unha secuencia está limitada superiormente e inferiormente, entón dise que a secuencia está limitada.

Subsecuencias

Unha subsecuencia dunha secuencia dada é unha secuencia formada a partir da secuencia dada eliminando algúns dos elementos sen perturbar as posicións relativas dos elementos restantes. Por exemplo, a secuencia de enteiros pares positivos (2, 4, 6, ...) é unha subsecuencia dos enteiros positivos (1, 2, 3, ...). As posicións dalgúns elementos mudan cando se eliminan outros. Non obstante, consérvanse as posicións relativas.

Formalmente, unha subsecuencia da secuencia $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ é calquera secuencia da forma ${\textstyle (a_{n_{k}})_{k\in \mathbb {N} }}$ , onde $(n_{k})_{k\in \mathbb {N} }$ é unha secuencia estritamente crecente de enteiros positivos.

Outros tipos de secuencias

Unha secuencia de enteiros é unha secuencia cuxos termos son enteiros.
Unha sucesión polinómica é unha sucesión cuxos termos son polinomios.
Unha secuencia enteira positiva ás veces chámase multiplicativa, se a_nm = a_na_m para todos os pares n, m tal que n e m son coprimos.^[2] Noutros casos, as secuencias adoitan chamarse multiplicativas, se a_n = na₁ para todo n.
Unha secuencia binaria é unha secuencia cuxos termos teñen un de entre dous valores discretos, por exemplo, valores en base 2 (0,1,1,0, ...), unha serie de lanzamentos de moedas (cara/cruz) C,X,C,C,X,... , as respostas a un conxunto de preguntas Verdadeiro ou Falso (V, F, V, V, ...), etc.

Límites e converxencia

A gráfica dunha secuencia converxente (a_n) móstrase en azul. Na gráfica podemos ver que a secuencia vai converxendo ao límite cero a medida que n aumenta.

Se unha secuencia converxe, converxe a un valor particular coñecido como límite. Se unha secuencia converxe a algún límite, entón é converxente. Unha secuencia que non converxe é diverxente (poderían ser mesmo dous límites).

Por exemplo, a secuencia ${\textstyle a_{n}={\frac {n+1}{2n^{2}}}}$ mostrada na dereita converxe ao valor 0. Por outra banda, as secuencias ${\textstyle b_{n}=n^{3}}$ (que comeza 1, 8, 27, ...) e $c_{n}=(-1)^{n}$ (que comeza −1, 1, −1, 1, ...) ambas as dúas son diverxentes.

Se unha secuencia converxe, entón o valor ao que converxe é único. Este valor chámase límite da secuencia. O límite dunha sucesión converxente $(a_{n})$ normalmente denótase ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ . Se $(a_{n})$ é unha secuencia diverxente, daquela a expresión ${\textstyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$ carece de sentido.

Definición formal de converxencia

Unha secuencia de números reais $(a_{n})$ converxe a un número real $L$ se, para todos $\varepsilon >0$ , existe un número natural $N$ tal que para todos $n\geq N$ temos ^[3]

|a_{n}-L|<\varepsilon .

Aplicacións e resultados importantes

Se $(a_{n})$ e $(b_{n})$ son secuencias converxentes, entón existen os seguintes límites e pódense calcular do seguinte xeito: ^[3]^[4]

$\lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}$
$\lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\lim _{n\to \infty }a_{n}$ para todos os números reais $c$
$\lim _{n\to \infty }(a_{n}b_{n})={\bigl (}\lim _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}{\bigl (}\lim _{n\to \infty }b_{n}{\bigr )}$
$\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{b_{n}}}={\bigl (}\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}{\big /}{\bigl (}\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}{\bigr )}$ , sempre que $\lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0$
$\lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}={\bigl (}\lim _{n\to \infty }a_{n}{\bigr )}^{p}$ para todos $p>0$ e $a_{n}>0$

Se $a_{n}\leq b_{n}$ para todos os $n$ maiores que algún $N$ , daquela $\lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}$ .^[a]
( Teorema de compresión )
Se $(c_{n})$ é unha secuencia tal que $a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}$ para todos os $n>N$ e $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L$ ,
daquela $(c_{n})$ é converxente, e $\lim _{n\to \infty }c_{n}=L$ .
Se unha secuencia é limitada e monótona, daquela é converxente.
Unha secuencia é converxente se e só se todas as súas subsecuencias son converxentes.

Secuencias de Cauchy

A gráfica dunha secuencia de Cauchy (X_n), mostrada en azul, cos eixos para X_n e n. Na gráfica, a sucesión está a converxer a un límite. A medida que a distancia entre os termos consecutivos da secuencia se fai menor cando n aumenta. Nos números reais todas as secuencias de Cauchy converxen a algún límite.

Unha sucesión de Cauchy é unha secuencia cuxos termos se achegan arbitrariamente cando n se fai moi grande. A noción de secuencia de Cauchy é importante no estudo de secuencias en espazos métricos e, en particular, na análise real. Un resultado particularmente importante na análise real é a caracterización de Cauchy da converxencia para secuencias :

Unha secuencia de números reais é converxente (nos reais) se e só se é Cauchy.

En cambio, hai secuencias de Cauchy de números racionais que non son converxentes nos racionais, por exemplo, a secuencia definida por $x_{1}=1$ e $x_{n+1}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}x_{n}+{\tfrac {2}{x_{n}}}{\bigr )}$ é Cauchy, pero non ten límite racional. De forma máis xeral, calquera secuencia de números racionais que converxe a un número irracional é Cauchy, mais non converxente cando se interpreta como unha secuencia do conxunto de números racionais.

Os espazos métricos que satisfán a caracterización de converxencia de Cauchy para secuencias chámanse espazos métricos completos e son particularmente apropiados para a análise.

Límites infinitos

En cálculo, é común definir a notación para secuencias que non converxen no sentido comentado anteriormente, senón que se fan e permanecen arbitrariamente grandes, ou se fan e permanecen arbitrariamente negativas. Se $a_{n}$ faise arbitrariamente grande como $n\to \infty$ , escribimos

\lim _{n\to \infty }a_{n}=\infty .

Neste caso dicimos que a secuencia diverxe. Un exemplo desta secuencia é a_n = n.

Se $a_{n}$ vólvese arbitrariamente negativo (é dicir, negativo e grande en magnitude) como $n\to \infty$ , escribimos

\lim _{n\to \infty }a_{n}=-\infty

e dicimos que a secuencia diverxe cara ao infinito negativo.

Serie

Unha serie é, falando informalmente, a suma dos termos dunha secuencia. É dicir, é unha expresión da forma ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ ou $a_{1}+a_{2}+\cdots$ , onde $(a_{n})$ é unha secuencia de números reais ou complexos. As sumas parciais dunha serie son as expresións resultantes de substituír o símbolo do infinito por un número finito, é dicir, a N-ésima suma parcial da serie. ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ é o número

S_{N}=\sum _{n=1}^{N}a_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{N}.

As propias sumas parciais forman unha secuencia $(S_{N})_{N\in \mathbb {N} }$ , que se denomina secuencia de sumas parciais da serie ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ . Se a secuencia de sumas parciais converxe, dicimos que a serie ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ é converxente, e o límite ${\textstyle \lim _{N\to \infty }S_{N}}$ chámase valor da serie. A mesma notación úsase para indicar unha serie e o seu valor, é dicir, escribimos ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\lim _{N\to \infty }S_{N}}$ .

Notas

↑ "Sequences". www.mathsisfun.com. Arquivado dende o orixinal o 2020-08-12. Consultado o 2020-08-17.
↑ Lando, Sergei K. (2003-10-21). "7.4 Multiplicative sequences". Lectures on generating functions. AMS. ISBN 978-0-8218-3481-7.
↑ ^3,0 ^3,1 Gaughan, Edward (2009). "1.1 Sequences and Convergence". Introduction to Analysis. AMS (2009). ISBN 978-0-8218-4787-9.
↑ Dawikins, Paul. "Series and Sequences". Paul's Online Math Notes/Calc II (notes). Arquivado dende o orixinal o 30 November 2012. Consultado o 18 December 2012.

↑ Se as desigualdades son substituídas por desigualdades estritas, pode non manterse a desigualdade no límite: hai secuencias tal que $a_{n}<b_{n}$ para todo $n$ , mais $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$ .

Véxase tamén

Outros artigos

Ligazóns externas

"Sequence". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
Journal of Integer Sequences (gratis)

[:0-1] "Sequences". www.mathsisfun.com. Arquivado dende o orixinal o 2020-08-12. Consultado o 2020-08-17.

[2] Lando, Sergei K. (2003-10-21). "7.4 Multiplicative sequences". Lectures on generating functions. AMS. ISBN 978-0-8218-3481-7.

[Gaughan-3] 3,0 ^3,1 Gaughan, Edward (2009). "1.1 Sequences and Convergence". Introduction to Analysis. AMS (2009). ISBN 978-0-8218-4787-9.

[Dawkins-4] Dawikins, Paul. "Series and Sequences". Paul's Online Math Notes/Calc II (notes). Arquivado dende o orixinal o 30 November 2012. Consultado o 18 December 2012.

[5] Se as desigualdades son substituídas por desigualdades estritas, pode non manterse a desigualdade no límite: hai secuencias tal que $a_{n}<b_{n}$ para todo $n$ , mais $\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$ .

[1]

[2]

[3]

[4]

[a]