Factorial

Nas matemáticas, a factorial dun número natural n é o produto de todos os enteiros positivos menores ou iguais a n. Iso é escrito como n! e lido como "factorial de n ". A notación n! foi introducida por Christian Kramp en 1808.

Definición

A función factorial é definida como o produto

$n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n,$

que se pode escribir como

$n!=\prod _{k=1}^{n}k\qquad {\mbox{para todo }}n\geq 0.$

Por exemplo,

5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120

A secuencia das factoriais (secuencia A000142 na OEIS) para n = 0, 1, 2,... comeza con:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800,...

Factorial de cero

A factorial de 0, $0!$, é 1. Hai diversas razóns que xustifican esta definición:

• Para n = 0, a definición de n! como produto precisa do produto de ningún número, é a convención estendida di que o produto de ningún factor é igual a identidade na multiplicación, 1.
• Estende a relación de recorrencia (n + 1)! = (n+1)·n! a n = 0..

Factorial de non enteiros

A definición de factorial tamén se pode definir para valores non enteiros a través da función gamma, detallado máis abaixo:

$z!=\Gamma (z+1)=\int _{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt$

Aplicacións

Aínda que a función factorial ten os seus inicios na combinatoria, as súas aplicacións esténdense por moitas áreas da matemática.

• Existen n! camiños diferentes de arranxar n obxectos distintos nunha secuencia, chamados permutacións.
• A miúdo aparece en contexto de contar cousas onde a orde non é importante. Por exemplo, no caso de contar o número de escoller k elementos dun conxunto de n é dado polo coeficiente binomial

${n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}.$

• Os factoriais tamén aparecen en cálculo. Por exemplo, na serie de Taylor, que expresa a función f(x) como unha serie de serie de potencias en x. A razón principal é que o n derivativo de xⁿ é n!.
• Os factoriais tamén son usados extensamente na teoría da probabilidade.
• Os factoriais tamén son frecuentemente utilizados como exemplos simplificados de recursividade, en ciencias da computación, porque satisfán as seguintes relacións recursivas: (se n ≥ 1):

n! = n (n − 1)!

Como calcular factoriais

O valor numérico de n! pode ser calculado por multiplicación repetida se n non for grande de máis. É iso o que as calculadoras fan. O maior factorial que a maioría das calculadoras aguantan é 69!, porque 70! > 10¹⁰⁰.

Cando n é grande de máis , n! pode ser calculado cunha boa precisión usando a fórmula de Stirling:

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.$

Esa é unha versión simplificada que pode ser probada usando matemática básica de ensino secundario; a ferramenta esencial é a indución matemática. Ela é presentada aquí na forma dun exercicio:

$\left({n \over 3}\right)^{n}<n!<\left({n \over 2}\right)^{n}\ {\mbox{if}}\ n\geq 6.\,$

Logaritmo de factorial

O logaritmo dun factorial pode ser usado para calcular o número de díxitos que a base dun factorial irá ocupar. log n! pode ser facilmente calculado da seguinte maneira:

$\sum _{k=1}^{n}{\log k}$

Nótese que esa función, demostrada graficamente, é case linear para valores baixos; mais o factor ${\log n!} \over n$ crece de maneira arbitraria, aínda que vagarosa. Por exemplo, este é o gráfico os seus primeiros 20 mil valores:

Unha boa aproximación para log n! é facer o logaritmo da aproximación de Stirling.

Factorial para valores non enteiros

A función gamma

Artigo principal: Función gamma.

A función gamma Γ(z) é definida para todos os números complexos z excepto os enteiros non positivos (z = 0, −1, −2, −3, ...). Ela relaciónase cos factoriais polo feito de que satisfai unha relación recursiva semellante a aquela da función factorial:

$n!=n(n-1)!$

$\Gamma (n+1)=n\Gamma (n)$

Xunto coa definición Γ(1) = 1 iso xera a ecuación

$\Gamma (n+1)=n!\qquad {\mbox{para todo }}n\in \mathbb {N} ,n\geq 1.$

Por causa desa relación, a función gamma é frecuentemente tida como unha xeneralización da función factorial para o dominio dos números complexos. Iso é xustificado polas seguintes racións:

• Significado compartido: A definición canónica da función factorial é a relación recursiva mencionada, compartida por ambos.
• Unicidade: A función gamma é a única función que satisfai a relación recursiva mencionada para o dominio dos números complexos e é holomórfica e cuxa restrición ao eixo positivo real é convexa no log. Ou sexa, é a única función que podería ser unha xeneralización da función factorial.
• Contexto: A función gamma é xeralmente usada nun contexto similar ao dos factoriais (mais, é claro, onde un dominio máis xeral for de interese).

Funcións semellantes á factorial

Multifactoriais

Unha notación relacionada común é o uso de múltiplos puntos de exclamación para simboliar un multifactorial, o produto de enteiros en pasos de (n!!), tres (n!!!), ou máis.

n!! denota o factorial duplo de n e é definido recursivamente por

$n!!=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \quad \ &&{\mbox{if }}n=0{\mbox{ or }}n=1;\\n(n-2)!!&&{\mbox{if }}n\geq 2.\qquad \qquad \end{matrix}}\right.$

Por exemplo, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 e 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. A secuencia de factoriais duplos para n = 0, 1, 2,... é :1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...

Algunhas identidades que envolven factoriais duplos son:

$n!=n!!(n-1)!!$

$(2n)!!=2^{n}n!$

$(2n+1)!!={(2n+1)! \over (2n)!!}={(2n+1)! \over 2^{n}n!}$

$\Gamma \left(n+{1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}{(2n-1)!! \over 2^{n}}$

Débese ser coidadoso para non interpretar n!! como a factorial de n!, que debería ser escrito (n!)! e é un número moito maior (para n>2).

A factorial dupla é a variante máis comumente usada, mais pódese definir a factorial tripla do mesmo modo (n!!!) e así por diante. En xeral, a k-ésima factorial, notado por n!^(k), é definido recursivamente como

$n!^{(k)}=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \ &&{\mbox{if }}0\leq n<k;\\n(n-k)!^{(k)},&&{\mbox{if }}n\geq k.\quad \ \ \,\end{matrix}}\right.$

Hiperfactoriais

Ocasionalmente o hiperfactorial de n é considerado. É escrito como H(n) e definido por

$H(n)=\prod _{k=1}^{n}k^{k}=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots (n-1)^{n-1}\cdot n^{n}$

Para n = 1, 2, 3, 4,... os valores de H(n) son 1, 4, 108, 27648,...

A función hiperfactorial é similar á factorial, mais produce números maiores. A taxa de crecemento desa función, con todo, non é moito maior que un factorial regular.

Superfactoriais

Neil Sloane e Simon Plouffe definiron o superfactorial en 1995 como o produto dos primeiros n factoriais. Así, o superfactorial de 4 é

sf(4)=1!*2!*3!*4!=288.

No xeral,

$\mathrm {sf} (n)=\prod _{k=1}^{n}k!=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.$

A secuencia de superfactoriais comeza (de n=0) como:

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... (secuencia A000178 na OEIS)

Esa idea pode ser facilmente estendida para superduperfactorial como o produto dos primeiros n superfactoriais (iniciando con n=0), así

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, ... (secuencia A055462 na OEIS)

e aí en diante, recursivamente para todos os factoriais múltiplos, onde o m-factorial de n é o produtod dos primeiros n (m-1)-factorials, i.e.

$\mathrm {mf} (n,m)=\mathrm {mf} (n-1,m)\mathrm {mf} (n,m-1)=\prod _{k=1}^{n}k^{n-k+m-1 \choose n-k}$

onde $\mathrm {mf} (n,0)=n$ para $n>0$ e $\mathrm {mf} (0,m)=1$.

Superfactoriais (definición alternativa)

Clifford Pickover, no seu libro Keys to Infinity, de 1995, definiu o superfactorial de n, escrito como n$ (o $ debería, na verdade, ser un sinal de factorial ! cun S sobreposto) como

$n\$=n^{(4)}n$

onde a notación ⁽⁴⁾ denota o operador hyper4, ou usando a notación de frecha de Knuth,

$n\$=(n!)\uparrow \uparrow (n!)$

Esa secuencia de superfactoriais comeza:

$1\$=1$

$2\$=2^{2}=4$

$3\$=6\uparrow \uparrow 6=6^{6^{6^{6^{6^{6}}}}}$

Factoración prima de factoriais

A potencia de p que ocorre na factoración prima de n! é

$\sum _{i=1}^{\infty }\lfloor n/p^{i}\rfloor$

Véxase tamén

Bibliografía

• Hadamard, M. J. (1894). Sur L’Expression Du Produit 1·2·3· · · · ·(n−1) Par Une Fonction Entière (PDF) (en francés). OEuvres de Jacques Hadamard, Centre National de la Recherche Scientifiques, Paris, 1968. 
• Ramanujan, Srinivasa (1988). The lost notebook and other unpublished papers. Springer Berlin. p. 339. ISBN 3-540-18726-X. 

Ligazóns externas

• Táboa de 2! - 256! (exacta)
• Factorial n!
• O dicionario dos números grandes
• Algoritmo factorial - Pascal