En matemáticas , a fórmula de Stirling é unha aproximación para factoriais grandes. Leva o nome en honor de James Stirling .
A diferenza relativa entre (ln x !) e (x ln x - x ) tende a cero ao crecer x . A aproximación exprésase como
ln
n
!
≈
n
ln
n
−
n
{\displaystyle \ln n!\approx n\ln n-n\,}
para n suficientemente grande, onde ln é o logaritmo natural
Definición formal
editar
A fórmula de Stirling está dada por
lim
n
→
∞
n
!
2
π
n
(
n
e
)
n
=
1
{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{n! \over {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}=1}
que se reescribe frecuentemente como
n
!
≈
2
π
n
(
n
e
)
n
{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}
máis exactamente a fórmula é como segue
n
!
=
2
π
n
(
n
e
)
n
e
1
12
n
−
1
360
n
3
+
1
1260
n
5
−
1
1680
n
7
+
⋯
{\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{e}^{{1 \over 12n}-{1 \over 360n^{3}}+{1 \over 1260n^{5}}-{1 \over 1680n^{7}}+\cdots }}
onde o último termo (a exponencial) tende a 1 cando n tende a infinito.
A lista dos denominadores é: 12, 360, 1260, 1680, 1188, 360360, 156, 122400, 244188, 125400, 5796, 1506960, 300, ...
Desenvolvendo este último termo tamén se pode reescribir a fórmula como
n
!
=
2
π
n
(
n
e
)
n
(
1
+
1
12
n
+
1
288
n
2
−
139
51840
n
3
−
571
2488320
n
4
+
⋯
)
.
{\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{1 \over 12n}+{1 \over 288n^{2}}-{139 \over 51840n^{3}}-{571 \over 2488320n^{4}}+\cdots \right).}
Unha acoutación da fórmula é
2
π
n
(
n
e
)
n
e
1
12
n
+
1
<
n
!
<
2
π
n
(
n
e
)
n
e
1
12
n
{\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{e}^{\frac {1}{12n+1}}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\;\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}{e}^{\frac {1}{12n}}}
Por exemplo:
29
!
=
8841761993739701954543616000000
{\displaystyle 29!=8841761993739701954543616000000}
e
1
12
29
+
1
=
1
,
002869438...
{\displaystyle {e}^{\frac {1}{12\;29+1}}=1,002869438...}
e
1
12
29
=
1
,
002877696...
{\displaystyle {e}^{\frac {1}{12\;29}}=1,002877696...}
29
!
=
2
π
29
(
29
e
)
29
1
,
002877577...
{\displaystyle 29!={\sqrt {2\pi 29}}\;\left({\frac {29}{e}}\right)^{29}1,002877577...}
A fórmula resulta útil en diversas áreas como a mecánica estatística , onde aparecen ecuacións que conteñen factoriais do número de partículas. Posto que na materia ordinaria os sistemas macroscópicos típicos teñen en torno a
N
≈
10
23
{\displaystyle N\approx 10^{23}}
