Os coeficientes binomiais ou números combinatorios son os enteiros positivos que aparecen como coeficientes no teorema do binomio . Normalmente, un coeficiente binomial está representado por un par de números enteiros n ≥ k ≥ 0 e escríbese
(
n
k
)
.
{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}.}
Correspóndese co coeficiente do termo x k na expansión polinómica da potencia binomial (1 + x )n ; este coeficiente pódese calcular mediante a fórmula
Os coeficientes binomiais pódense ordenar para formar o triángulo de Pascal , no que cada entrada é a suma das dúas inmediatamente anteriores.
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
.
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.}
Imos ver un exemplo, a cuarta potencia de (1 + x ) é
(
1
+
x
)
4
=
(
4
0
)
x
0
+
(
4
1
)
x
1
+
(
4
2
)
x
2
+
(
4
3
)
x
3
+
(
4
4
)
x
4
=
1
+
4
x
+
6
x
2
+
4
x
3
+
x
4
,
{\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{4}&={\tbinom {4}{0}}x^{0}+{\tbinom {4}{1}}x^{1}+{\tbinom {4}{2}}x^{2}+{\tbinom {4}{3}}x^{3}+{\tbinom {4}{4}}x^{4}\\&=1+4x+6x^{2}+4x^{3}+x^{4},\end{aligned}}}
e calculamos o coeficiente binomial
(
4
2
)
=
4
×
3
2
×
1
=
4
!
2
!
2
!
=
6
{\displaystyle {\tbinom {4}{2}}={\tfrac {4\times 3}{2\times 1}}={\tfrac {4!}{2!2!}}=6}
é o coeficiente do termo x 2 .
Se ordenamos os números
(
n
0
)
,
(
n
1
)
,
…
,
(
n
n
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},\ldots ,{\tbinom {n}{n}}}
en filas sucesivas para n = 0, 1, 2, ... daquela temos unha matriz triangular chamada triángulo de Pascal , que satisfai a relación de recorrencia
(
n
k
)
=
(
n
−
1
k
−
1
)
+
(
n
−
1
k
)
.
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}.}
En moitas áreas das matemáticas aparecen os coeficientes binomiais, e teñen especial incidencia na combinatoria . O símbolo
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
adoita lerse como "n sobre k ". Hai
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
formas de escoller un subconxunto (desordenado) de k elementos dun conxunto fixo de n elementos. Por exemplo, hai
(
4
2
)
=
6
{\displaystyle {\tbinom {4}{2}}=6}
formas de escoller 2 elementos entre {1, 2, 3, 4} , é dicir, {1, 2} , {1, 3} , {1, 4} , {2, 3} , {2, 4} e {3, 4} .
Agora podemos xeneralizar para que
(
z
k
)
{\displaystyle {\tbinom {z}{k}}}
poida usarse para calquera número complexo z e enteiro k ≥ 0 , e moitas das súas propiedades seguen a manterse nesta forma máis xeral.
As notacións alternativas máis frecuentes son C (n , k ) , C n k , e C n ,k , en todas elas o C significa combinacións .
Definición e interpretacións
editar
Para os números naturais n e k , o coeficiente binomial
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
pódese definir como o coeficiente do monomio X k na expansión de (1 + X )n . O mesmo coeficiente tamén ocorre (se k ≤ n ) na fórmula binomial
(
x
+
y
)
n
=
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
k
y
n
−
k
{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n-k}}
(∗ )
(válida para calquera elemento x , y dun anel conmutativo ), o que explica o nome de "coeficiente binomial".
Tamén aparece na combinatoria, onde dá o número de subconxuntos de k elementos (ou k -combinacións) dun conxunto de n elementos.
Cálculo do valor dos coeficientes binomiais
editar
Fórmula recursiva
editar
(
n
k
)
=
(
n
−
1
k
−
1
)
+
(
n
−
1
k
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}}
para todos os números enteiros
n
,
k
{\displaystyle n,k}
tal que
1
≤
k
<
n
,
{\displaystyle 1\leq k<n,}
con valores límite
(
n
0
)
=
(
n
n
)
=
1
{\displaystyle {\binom {n}{0}}={\binom {n}{n}}=1}
para todos os números enteiros n ≥ 0 .
Fórmula multiplicativa
editar
(
n
k
)
=
n
k
_
k
!
=
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
⋯
(
n
−
(
k
−
1
)
)
k
(
k
−
1
)
(
k
−
2
)
⋯
1
=
∏
i
=
1
k
n
+
1
−
i
i
,
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {n+1-i}{i}},}
onde o numerador da primeira fracción
n
k
_
{\displaystyle n^{\underline {k}}}
exprésase como o símbolo de Pochhammer do factorial descendente .
Fórmula factorial
editar
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
for
0
≤
k
≤
n
,
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}\quad {\text{for }}\ 0\leq k\leq n,}
onde n ! denota o factorial de n . A fórmula presenta unha simetría
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
for
0
≤
k
≤
n
,
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}\quad {\text{for }}\ 0\leq k\leq n,}
(1 )
Xeneralización e conexión coa serie binomial
editar
A fórmula multiplicativa permítenos ampliar a definición dos coeficientes binomiais substituíndo n por un número arbitrario
α
{\displaystyle \alpha }
(negativo, real, complexo) ou mesmo un elemento de calquera anel conmutativo no que todos os enteiros positivos sexan invertibles:
(
α
k
)
=
α
k
_
k
!
=
α
(
α
−
1
)
(
α
−
2
)
⋯
(
α
−
k
+
1
)
k
(
k
−
1
)
(
k
−
2
)
⋯
1
para
k
∈
N
e un arbitrario
α
.
{\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha ^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}\quad {\text{para }}k\in \mathbb {N} {\text{ e un arbitrario }}\alpha .}
Aproveitamos esta definición para ter unha xeneralización da fórmula binomial, cunha das variables posta a 1, :
(
1
+
X
)
α
=
∑
k
=
0
∞
(
α
k
)
X
k
.
{\displaystyle (1+X)^{\alpha }=\sum _{k=0}^{\infty }{\alpha \choose k}X^{k}.}
(2 )
Esta fórmula é válida para todos os números complexos α e X con |X | < 1.
Triángulo de Pascal
editar
A regra de Pascal é unha importante relación de recorrencia
(
n
k
)
+
(
n
k
+
1
)
=
(
n
+
1
k
+
1
)
,
{\displaystyle {n \choose k}+{n \choose k+1}={n+1 \choose k+1},}
(3 )
que se pode utilizar para demostrar por indución matemática que
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
é un número natural para todos os enteiros n ≥ 0 e todos os enteiros k , un feito que non é inmediatamente obvio a partir da fórmula (1).
A regra de Pascal dá lugar ao triángulo de Pascal :
0:
1
1:
1
1
2:
1
2
1
3:
1
3
3
1
4:
1
4
6
4
1
5:
1
5
10
10
5
1
6:
1
6
15
20
15
6
1
7:
1
7
21
35
35
21
7
1
8:
1
8
28
56
70
56
28
8
1
O número de fila n contén os números
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
para k = 0, …, n . Constrúese colocando primeiro 1 nas posicións máis externas e despois enchendo cada posición interna coa suma dos dous números directamente enriba.
Combinatoria e estatística
editar
Coeficientes binomiais como polinomios
editar
Dado calquera enteiro non negativo k , a expresión
(
t
k
)
{\textstyle {\binom {t}{k}}}
pódese simplificar e definir como un polinomio dividido por k ! :
(
t
k
)
=
t
k
_
k
!
=
t
(
t
−
1
)
(
t
−
2
)
⋯
(
t
−
k
+
1
)
k
(
k
−
1
)
(
k
−
2
)
⋯
2
⋅
1
;
{\displaystyle {\binom {t}{k}}={\frac {t^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {t(t-1)(t-2)\cdots (t-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1}};}
isto presenta un polinomio en t con coeficientes racionais .
Os seus coeficientes poden expresarse en termos dos números de Stirling :
(
t
k
)
=
∑
i
=
0
k
s
(
k
,
i
)
t
i
k
!
.
{\displaystyle {\binom {t}{k}}=\sum _{i=0}^{k}s(k,i){\frac {t^{i}}{k!}}.}
Identidades que implican coeficientes binomiais
editar
Se k é un número enteiro positivo e n é arbitrario, entón
(
n
k
)
=
n
k
(
n
−
1
k
−
1
)
.
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}.}
(5 )
(
n
−
1
k
)
−
(
n
−
1
k
−
1
)
=
n
−
2
k
n
(
n
k
)
.
{\displaystyle {\binom {n-1}{k}}-{\binom {n-1}{k-1}}={\frac {n-2k}{n}}{\binom {n}{k}}.}
(
n
−
1
k
)
=
n
−
k
n
(
n
k
)
.
{\displaystyle {\binom {n-1}{k}}={\frac {n-k}{n}}{\binom {n}{k}}.}
(
n
h
)
(
n
−
h
k
)
=
(
n
k
)
(
n
−
k
h
)
=
(
n
h
+
k
)
(
h
+
k
h
)
.
{\displaystyle {\binom {n}{h}}{\binom {n-h}{k}}={\binom {n}{k}}{\binom {n-k}{h}}={\binom {n}{h+k}}{\binom {h+k}{h}}.}
Para n constnte , temos a seguinte recorrencia:
(
n
k
)
=
n
−
k
+
1
k
(
n
k
−
1
)
.
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n-k+1}{k}}{\binom {n}{k-1}}.}
(
n
k
)
=
(
n
n
−
k
)
=
n
−
k
+
1
k
(
n
k
−
1
)
=
n
n
−
k
(
n
−
1
k
)
=
n
k
(
n
−
1
k
−
1
)
=
n
n
−
2
k
(
(
n
−
1
k
)
−
(
n
−
1
k
−
1
)
)
=
(
n
−
1
k
)
+
(
n
−
1
k
−
1
)
.
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}={\frac {n-k+1}{k}}{\binom {n}{k-1}}={\frac {n}{n-k}}{\binom {n-1}{k}}={\frac {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}={\frac {n}{n-2k}}{\Bigg (}{\binom {n-1}{k}}-{\binom {n-1}{k-1}}{\Bigg )}={\binom {n-1}{k}}+{\binom {n-1}{k-1}}.}
Sumas dos coeficientes binomiais
editar
A fórmula
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
=
2
n
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=2^{n}}
(∗∗ )
expresa que os elementos da fila n -ésima do triángulo de Pascal sempre suman 2 elevados á potencia n -ésima.
Temos dúas fórmulas máis,
∑
k
=
0
n
k
(
n
k
)
=
n
2
n
−
1
.
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}=n2^{n-1}.}
.
∑
k
=
0
n
k
2
(
n
k
)
=
(
n
+
n
2
)
2
n
−
2
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}k^{2}{\binom {n}{k}}=(n+n^{2})2^{n-2}}
.
Estas dúas fórmulas séguense do teorema do binomio despois de diferenciar con respecto a x (dúas veces na segunda) e despois de substituír x = y = 1 .
A identidade de Chu-Vandermonde , que se cumpre para calquera valores complexos m e n e calquera número enteiro non negativo k , é
∑
j
=
0
k
(
m
j
)
(
n
−
m
k
−
j
)
=
(
n
k
)
{\displaystyle \sum _{j=0}^{k}{\binom {m}{j}}{\binom {n-m}{k-j}}={\binom {n}{k}}}
(7 )
No caso especial n = 2m , k = m , usando (1), a expansión (7) fica como
∑
j
=
0
m
(
m
j
)
2
=
(
2
m
m
)
,
{\displaystyle \sum _{j=0}^{m}{\binom {m}{j}}^{2}={\binom {2m}{m}},}
(8 )
onde o termo do lado dereito é un coeficiente binomial central .
Imos ver outra forma da identidade de Chu-Vandermonde que se aplica a calquera número enteiro j , k e n que satisfaga 0 ≤ j ≤ k ≤ n , é
∑
m
=
0
n
(
m
j
)
(
n
−
m
k
−
j
)
=
(
n
+
1
k
+
1
)
.
{\displaystyle \sum _{m=0}^{n}{\binom {m}{j}}{\binom {n-m}{k-j}}={\binom {n+1}{k+1}}.}
(9 )
Cando j = k , a ecuación (9) dá
∑
m
=
k
n
(
m
k
)
=
(
n
+
1
k
+
1
)
{\displaystyle \sum _{m=k}^{n}{\binom {m}{k}}={\binom {n+1}{k+1}}}
Sexa F (n ) o n -ésimo número de Fibonacci , entón
∑
k
=
0
⌊
n
/
2
⌋
(
n
−
k
k
)
=
F
(
n
+
1
)
.
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n-k}{k}}=F(n+1).}
Sumas de multiseccións
editar
Para os enteiros s e t tales que
0
≤
t
<
s
,
{\displaystyle 0\leq t<s,}
as series de multisección (con termos igualmente espazados) dás a seguinte identidade para a suma dos coeficientes binomiais:
(
n
t
)
+
(
n
t
+
s
)
+
(
n
t
+
2
s
)
+
…
=
1
s
∑
j
=
0
s
−
1
(
2
cos
π
j
s
)
n
cos
π
(
n
−
2
t
)
j
s
.
{\displaystyle {\binom {n}{t}}+{\binom {n}{t+s}}+{\binom {n}{t+2s}}+\ldots ={\frac {1}{s}}\sum _{j=0}^{s-1}\left(2\cos {\frac {\pi j}{s}}\right)^{n}\cos {\frac {\pi (n-2t)j}{s}}.}
Para s pequenos, estas series teñen formas particularmente feitucas; por exemplo, [ 2]
(
n
0
)
+
(
n
3
)
+
(
n
6
)
+
⋯
=
1
3
(
2
n
+
2
cos
n
π
3
)
{\displaystyle {\binom {n}{0}}+{\binom {n}{3}}+{\binom {n}{6}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left(2^{n}+2\cos {\frac {n\pi }{3}}\right)}
(
n
1
)
+
(
n
4
)
+
(
n
7
)
+
⋯
=
1
3
(
2
n
+
2
cos
(
n
−
2
)
π
3
)
{\displaystyle {\binom {n}{1}}+{\binom {n}{4}}+{\binom {n}{7}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left(2^{n}+2\cos {\frac {(n-2)\pi }{3}}\right)}
(
n
2
)
+
(
n
5
)
+
(
n
8
)
+
⋯
=
1
3
(
2
n
+
2
cos
(
n
−
4
)
π
3
)
{\displaystyle {\binom {n}{2}}+{\binom {n}{5}}+{\binom {n}{8}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left(2^{n}+2\cos {\frac {(n-4)\pi }{3}}\right)}
(
n
0
)
+
(
n
4
)
+
(
n
8
)
+
⋯
=
1
2
(
2
n
−
1
+
2
n
2
cos
n
π
4
)
{\displaystyle {\binom {n}{0}}+{\binom {n}{4}}+{\binom {n}{8}}+\cdots ={\frac {1}{2}}\left(2^{n-1}+2^{\frac {n}{2}}\cos {\frac {n\pi }{4}}\right)}
Sumas parciais
editar
∑
j
=
0
k
(
−
1
)
j
(
n
j
)
=
(
−
1
)
k
(
n
−
1
k
)
,
{\displaystyle \sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}=(-1)^{k}{\binom {n-1}{k}},}
co caso especial
∑
j
=
0
n
(
−
1
)
j
(
n
j
)
=
0
{\displaystyle \sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}=0}
para n > 0 . Este último resultado é tamén un caso especial do resultado da teoría das diferenzas finitas que para calquera polinomio P (x ) de grao menor que n , [ 3]
∑
j
=
0
n
(
−
1
)
j
(
n
j
)
P
(
j
)
=
0.
{\displaystyle \sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}P(j)=0.}
Cando P (x ) é de grao menor ou igual a n ,
∑
j
=
0
n
(
−
1
)
j
(
n
j
)
P
(
n
−
j
)
=
n
!
a
n
{\displaystyle \sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}P(n-j)=n!a_{n}}
(10 )
onde
a
n
{\displaystyle a_{n}}
é o coeficiente de grao n en P (x ).
Identidade de Dixon
editar
A identidade de Dixon é
∑
k
=
−
a
a
(
−
1
)
k
(
2
a
k
+
a
)
3
=
(
3
a
)
!
(
a
!
)
3
{\displaystyle \sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{2a \choose k+a}^{3}={\frac {(3a)!}{(a!)^{3}}}}
ou, máis xeralmente,
∑
k
=
−
a
a
(
−
1
)
k
(
a
+
b
a
+
k
)
(
b
+
c
b
+
k
)
(
c
+
a
c
+
k
)
=
(
a
+
b
+
c
)
!
a
!
b
!
c
!
,
{\displaystyle \sum _{k=-a}^{a}(-1)^{k}{a+b \choose a+k}{b+c \choose b+k}{c+a \choose c+k}={\frac {(a+b+c)!}{a!\,b!\,c!}}\,,}
onde a , b e c son enteiros non negativos.
Identidades continuas
editar
Existen certas integrais trigonométricas que teñen valores expresables en termos de coeficientes binomiais, para calquera
m
,
n
∈
N
,
{\displaystyle m,n\in \mathbb {N} ,}
∫
−
π
π
cos
(
(
2
m
−
n
)
x
)
cos
n
(
x
)
d
x
=
π
2
n
−
1
(
n
m
)
{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos((2m-n)x)\cos ^{n}(x)\ dx={\frac {\pi }{2^{n-1}}}{\binom {n}{m}}}
∫
−
π
π
sin
(
(
2
m
−
n
)
x
)
sin
n
(
x
)
d
x
=
{
(
−
1
)
m
+
(
n
+
1
)
/
2
π
2
n
−
1
(
n
m
)
,
n
impar
0
,
noutro caso
{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\sin((2m-n)x)\sin ^{n}(x)\ dx={\begin{cases}(-1)^{m+(n+1)/2}{\frac {\pi }{2^{n-1}}}{\binom {n}{m}},&n{\text{ impar}}\\0,&{\text{noutro caso}}\end{cases}}}
∫
−
π
π
cos
(
(
2
m
−
n
)
x
)
sin
n
(
x
)
d
x
=
{
(
−
1
)
m
+
(
n
/
2
)
π
2
n
−
1
(
n
m
)
,
n
par
0
,
noutro caso
{\displaystyle \int _{-\pi }^{\pi }\cos((2m-n)x)\sin ^{n}(x)\ dx={\begin{cases}(-1)^{m+(n/2)}{\frac {\pi }{2^{n-1}}}{\binom {n}{m}},&n{\text{ par}}\\0,&{\text{noutro caso}}\end{cases}}}
Estas integrais pódense demostrar usando a fórmula de Euler para converter funcións trigonométricas en exponenciais complexas, expandindo usando o teorema binomial e integrando termo por termo.
Congruencias
editar
Se n é primo, entón
(
n
−
1
k
)
≡
(
−
1
)
k
mod
n
{\displaystyle {\binom {n-1}{k}}\equiv (-1)^{k}\mod n}
por cada k con
0
≤
k
≤
n
−
1.
{\displaystyle 0\leq k\leq n-1.}
De xeito máis xeral, isto segue sendo certo se n é calquera número e k é tal que todos os números entre 1 e k son coprimos con n .
Daquela temos
(
n
−
1
k
)
=
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
⋯
(
n
−
k
)
1
⋅
2
⋯
k
=
∏
i
=
1
k
n
−
i
i
≡
∏
i
=
1
k
−
i
i
=
(
−
1
)
k
mod
n
.
{\displaystyle {\binom {n-1}{k}}={(n-1)(n-2)\cdots (n-k) \over 1\cdot 2\cdots k}=\prod _{i=1}^{k}{n-i \over i}\equiv \prod _{i=1}^{k}{-i \over i}=(-1)^{k}\mod n.}
Funcións xeradoras
editar
Funcións xeradoras ordinarias
editar
Se temos un n fixo, a función xeradora ordinaria da secuencia
(
n
0
)
,
(
n
1
)
,
(
n
2
)
,
…
{\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},{\tbinom {n}{2}},\ldots }
é
∑
k
=
0
∞
(
n
k
)
x
k
=
(
1
+
x
)
n
.
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{n \choose k}x^{k}=(1+x)^{n}.}
Agora, se facemos que k sexa fixo, a función xeradora ordinaria da secuencia
(
0
k
)
,
(
1
k
)
,
(
2
k
)
,
…
,
{\displaystyle {\tbinom {0}{k}},{\tbinom {1}{k}},{\tbinom {2}{k}},\ldots ,}
é
∑
n
=
0
∞
(
n
k
)
y
n
=
y
k
(
1
−
y
)
k
+
1
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{n \choose k}y^{n}={\frac {y^{k}}{(1-y)^{k+1}}}.}
A función xeradora bivariada dos coeficientes binomiais é
∑
n
=
0
∞
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
x
k
y
n
=
1
1
−
y
−
x
y
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n}={\frac {1}{1-y-xy}}.}
Función xeradora exponencial
editar
Para dúas variables, unha función xeradora exponencial simétrica dos coeficientes binomiais é:
∑
n
=
0
∞
∑
k
=
0
∞
(
n
+
k
k
)
x
k
y
n
(
n
+
k
)
!
=
e
x
+
y
.
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{n+k \choose k}{\frac {x^{k}y^{n}}{(n+k)!}}=e^{x+y}.}
Propiedades de divisibilidade
editar
En 1852, Kummer demostrou (Teorema de Kummer) que se m e n son enteiros non negativos e p é un número primo, entón a maior potencia de p que divide
(
m
+
n
m
)
{\displaystyle {\tbinom {m+n}{m}}}
é igual a p c , onde c é o número de carrexos cando m e n se suman na base p . Isto é valoración p-ádica dun coeficiente binomial.
Os coeficientes binomiais teñen propiedades de divisibilidade relacionadas cos mínimos múltiplos comúns (lcm) de números enteiros consecutivos. Por exemplo:[ 4]
(
n
+
k
k
)
divide a
lcm
(
n
,
n
+
1
,
…
,
n
+
k
)
n
{\displaystyle {\binom {n+k}{k}}{\text{ divide a }}{\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n}}}
.
(
n
+
k
k
)
é múltiplo de
lcm
(
n
,
n
+
1
,
…
,
n
+
k
)
n
⋅
lcm
(
(
k
0
)
,
(
k
1
)
,
…
,
(
k
k
)
)
{\displaystyle {\binom {n+k}{k}}{\text{ é múltiplo de }}{\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n\cdot \operatorname {lcm} ({\binom {k}{0}},{\binom {k}{1}},\ldots ,{\binom {k}{k}})}}}
.
un dato máis en relación á divisibilidade: un número enteiro n ≥ 2 é primo se e só se todos os coeficientes binomiais intermedios
(
n
1
)
,
(
n
2
)
,
…
,
(
n
n
−
1
)
{\displaystyle {\binom {n}{1}},{\binom {n}{2}},\ldots ,{\binom {n}{n-1}}}
son divisibles por n .
Límites e fórmulas asintóticas
editar
Os seguintes límites para
(
n
k
)
{\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}
cúmprense para todos os valores de n e k tal que 1 ≤ k ≤ n :
n
k
k
k
≤
(
n
k
)
≤
n
k
k
!
<
(
n
⋅
e
k
)
k
.
{\displaystyle {\frac {n^{k}}{k^{k}}}\leq {n \choose k}\leq {\frac {n^{k}}{k!}}<\left({\frac {n\cdot e}{k}}\right)^{k}.}
Das propiedades de divisibilidade podemos inferir que
lcm
(
n
−
k
,
…
,
n
)
(
n
−
k
)
⋅
lcm
(
(
k
0
)
,
…
,
(
k
k
)
)
≤
(
n
k
)
≤
lcm
(
n
−
k
,
…
,
n
)
n
−
k
.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {lcm} (n-k,\ldots ,n)}{(n-k)\cdot \operatorname {lcm} \left({\binom {k}{0}},\ldots ,{\binom {k}{k}}\right)}}\leq {\binom {n}{k}}\leq {\frac {\operatorname {lcm} (n-k,\ldots ,n)}{n-k}}.}
Tanto n como k grandes
editar
A aproximación de Stirling dá a seguinte aproximación, válida cando
n
−
k
,
k
{\displaystyle n-k,k}
tenden ao infinito:
(
n
k
)
∼
n
2
π
k
(
n
−
k
)
⋅
n
n
k
k
(
n
−
k
)
n
−
k
{\displaystyle {n \choose k}\sim {\sqrt {n \over 2\pi k(n-k)}}\cdot {n^{n} \over k^{k}(n-k)^{n-k}}}
En particular, cando
n
{\displaystyle n}
é suficientemente grande, temos
(
2
n
n
)
∼
2
2
n
n
π
{\displaystyle {2n \choose n}\sim {\frac {2^{2n}}{\sqrt {n\pi }}}}
.
n
(
2
n
n
)
≥
2
2
n
−
1
{\displaystyle {\sqrt {n}}{2n \choose n}\geq 2^{2n-1}}
.
Se n é grande e k é linear en n , existen varias estimacións asintóticas precisas para o coeficiente binomial
(
n
k
)
{\textstyle {\binom {n}{k}}}
. Por exemplo, se
|
n
/
2
−
k
|
=
o
(
n
2
/
3
)
{\displaystyle |n/2-k|=o(n^{2/3})}
entón
(
n
k
)
∼
(
n
n
2
)
e
−
d
2
/
(
2
n
)
∼
2
n
1
2
n
π
e
−
d
2
/
(
2
n
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}\sim {\binom {n}{\frac {n}{2}}}e^{-d^{2}/(2n)}\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}n\pi }}}e^{-d^{2}/(2n)}}
onde d = n − 2k .[ 5]
n moito maior que k
editar
Se n é grande e k é o (n ) (é dicir, se k /n → 0 ), entón
(
n
k
)
∼
(
n
e
k
)
k
⋅
(
2
π
k
)
−
1
/
2
⋅
exp
(
−
k
2
2
n
(
1
+
o
(
1
)
)
)
{\displaystyle {\binom {n}{k}}\sim \left({\frac {ne}{k}}\right)^{k}\cdot (2\pi k)^{-1/2}\cdot \exp \left(-{\frac {k^{2}}{2n}}(1+o(1))\right)}
onde de novo o é a notación o pequena . [ 6]
Coeficientes binomiais xeneralizados
editar
Obtemos unha nova expresión para os coeficientes binomiais usando a fórmula do produto infinito para a función gamma
(
−
1
)
k
(
z
k
)
=
(
−
z
+
k
−
1
k
)
=
1
Γ
(
−
z
)
1
(
k
+
1
)
z
+
1
∏
j
=
k
+
1
(
1
+
1
j
)
−
z
−
1
1
−
z
+
1
j
{\displaystyle (-1)^{k}{z \choose k}={-z+k-1 \choose k}={\frac {1}{\Gamma (-z)}}{\frac {1}{(k+1)^{z+1}}}\prod _{j=k+1}{\frac {\left(1+{\frac {1}{j}}\right)^{-z-1}}{1-{\frac {z+1}{j}}}}}
que produce as fórmulas asintóticas
(
z
k
)
≈
(
−
1
)
k
Γ
(
−
z
)
k
z
+
1
and
(
z
+
k
k
)
=
k
z
Γ
(
z
+
1
)
(
1
+
z
(
z
+
1
)
2
k
+
O
(
k
−
2
)
)
{\displaystyle {z \choose k}\approx {\frac {(-1)^{k}}{\Gamma (-z)k^{z+1}}}\qquad {\text{and}}\qquad {z+k \choose k}={\frac {k^{z}}{\Gamma (z+1)}}\left(1+{\frac {z(z+1)}{2k}}+{\mathcal {O}}\left(k^{-2}\right)\right)}
cando
k
→
∞
{\displaystyle k\to \infty }
.
Xeneralizacións
editar
Xeneralización a multinomial
editar
Os coeficientes binomiais pódense xeneralizarse a coeficientes multinomiais definidos como o número:
(
n
k
1
,
k
2
,
…
,
k
r
)
=
n
!
k
1
!
k
2
!
⋯
k
r
!
{\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{r}}={\frac {n!}{k_{1}!k_{2}!\cdots k_{r}!}}}
onde
∑
i
=
1
r
k
i
=
n
.
{\displaystyle \sum _{i=1}^{r}k_{i}=n.}
Lembrando o que representan os coeficientes binomiais de (x + y )n , vemos que os coeficientes multinomiais representan os coeficientes do polinomio
(
x
1
+
x
2
+
⋯
+
x
r
)
n
.
{\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{r})^{n}.}
O caso r = 2 dá os coeficientes binomiais:
(
n
k
1
,
k
2
)
=
(
n
k
1
,
n
−
k
1
)
=
(
n
k
1
)
=
(
n
k
2
)
.
{\displaystyle {n \choose k_{1},k_{2}}={n \choose k_{1},n-k_{1}}={n \choose k_{1}}={n \choose k_{2}}.}
A interpretación combinatoria dos coeficientes multinomiais sería que temos n elementos distinguibles sobre r recipientes distinguibles, onde cada un contén exactamente ki elementos, onde i é o índice do recipiente.
Serie de Taylor
editar
Usando os números de Stirling do primeiro tipo,
s
k
,
i
{\displaystyle s_{k,i}}
, temos que a expansión en serie arredor de calquera punto escollido arbitrariamente
z
0
{\displaystyle z_{0}}
é
(
z
k
)
=
1
k
!
∑
i
=
0
k
z
i
s
k
,
i
=
∑
i
=
0
k
(
z
−
z
0
)
i
∑
j
=
i
k
(
z
0
j
−
i
)
s
k
+
i
−
j
,
i
(
k
+
i
−
j
)
!
=
∑
i
=
0
k
(
z
−
z
0
)
i
∑
j
=
i
k
z
0
j
−
i
(
j
i
)
s
k
,
j
k
!
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{z \choose k}={\frac {1}{k!}}\sum _{i=0}^{k}z^{i}s_{k,i}&=\sum _{i=0}^{k}(z-z_{0})^{i}\sum _{j=i}^{k}{z_{0} \choose j-i}{\frac {s_{k+i-j,i}}{(k+i-j)!}}\\&=\sum _{i=0}^{k}(z-z_{0})^{i}\sum _{j=i}^{k}z_{0}^{j-i}{j \choose i}{\frac {s_{k,j}}{k!}}.\end{aligned}}}
Coeficiente binomial con n = 1/2
editar
Podemos estender a definición dos coeficientes binomiais ao caso en que
n
{\displaystyle n}
é real e
k
{\displaystyle k}
é enteiro.
En particular, a seguinte identidade cúmprese para calquera número enteiro non negativo
k
{\displaystyle k}
:
(
1
/
2
k
)
=
(
2
k
k
)
(
−
1
)
k
+
1
2
2
k
(
2
k
−
1
)
.
{\displaystyle {{1/2} \choose {k}}={{2k} \choose {k}}{\frac {(-1)^{k+1}}{2^{2k}(2k-1)}}.}
Isto vese cando se expande
1
+
x
{\displaystyle {\sqrt {1+x}}}
nunha serie de potencias utilizando a serie binomial de Newton:
1
+
x
=
∑
k
≥
0
(
1
/
2
k
)
x
k
.
{\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum _{k\geq 0}{\binom {1/2}{k}}x^{k}.}
Descomposición de fracción parcial
editar
A descomposición en fraccións parciais do recíproco vén dada por
1
(
z
n
)
=
∑
i
=
0
n
−
1
(
−
1
)
n
−
1
−
i
(
n
i
)
n
−
i
z
−
i
.
{\displaystyle {\frac {1}{z \choose n}}=\sum _{i=0}^{n-1}(-1)^{n-1-i}{n \choose i}{\frac {n-i}{z-i}}.}
1
(
z
+
n
n
)
=
∑
i
=
1
n
(
−
1
)
i
−
1
(
n
i
)
i
z
+
i
.
{\displaystyle {\frac {1}{z+n \choose n}}=\sum _{i=1}^{n}(-1)^{i-1}{n \choose i}{\frac {i}{z+i}}.}
Serie binomial de Newton
editar
A serie binomial de Newton, que recibe o nome de Isaac Newton , é unha xeneralización do teorema binomial a series infinitas:
(
1
+
z
)
α
=
∑
n
=
0
∞
(
α
n
)
z
n
=
1
+
(
α
1
)
z
+
(
α
2
)
z
2
+
⋯
{\displaystyle (1+z)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}z^{n}=1+{\alpha \choose 1}z+{\alpha \choose 2}z^{2}+\cdots }
A identidade pódese obter mostrando que ambos os dous lados satisfan a ecuación diferencial (1 + z ) f' (z ) = α f (z ) .
O raio de converxencia desta serie é 1. Unha expresión alternativa é
1
(
1
−
z
)
α
+
1
=
∑
n
=
0
∞
(
n
+
α
n
)
z
n
{\displaystyle {\frac {1}{(1-z)^{\alpha +1}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{n+\alpha \choose n}z^{n}}
onde se aplica a identidade
(
n
k
)
=
(
−
1
)
k
(
k
−
n
−
1
k
)
{\displaystyle {n \choose k}=(-1)^{k}{k-n-1 \choose k}}
.
Coeficiente binomial multiconxunto (ascendente)
editar
Os coeficientes binomiais contan subconxuntos de tamaño prescrito dun conxunto dado. Un problema combinatorio relacionado é contar multiconxuntos é dicir, contar o número de formas de seleccionar un determinado número de elementos dun conxunto dado incluíndo a posibilidade de seleccionar o mesmo elemento con repetición. Os números resultantes chámanse coeficientes multiconxuntos ;[ 7] o número resultante dunha "multiescolla" (isto é, escolla con remprazacemento) de k elementos de un conxunto de n elementos denótase cun duplo paréntese
(
(
n
k
)
)
{\textstyle \left(\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\right)}
.
O valor dos coeficientes multiconxunto é
(
(
n
k
)
)
=
(
n
+
k
−
1
k
)
=
(
n
+
k
−
1
)
!
k
!
(
n
−
1
)
!
=
n
(
n
+
1
)
(
n
+
2
)
⋯
(
n
+
k
−
1
)
k
!
,
{\displaystyle \left(\!\!{n \choose k}\!\!\right)={n+k-1 \choose k}={\frac {(n+k-1)!}{k!\,(n-1)!}}={n(n+1)(n+2)\cdots (n+k-1) \over k!},}
Xeneralizaciónn a enteiros negativos
editar
Para calquera n ,
(
−
n
k
)
=
−
n
⋅
−
(
n
+
1
)
⋯
−
(
n
+
k
−
2
)
⋅
−
(
n
+
k
−
1
)
k
!
=
(
−
1
)
k
n
⋅
(
n
+
1
)
⋅
(
n
+
2
)
⋯
(
n
+
k
−
1
)
k
!
=
(
−
1
)
k
(
n
+
k
−
1
k
)
=
(
−
1
)
k
(
(
n
k
)
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {-n}{k}}&={\frac {-n\cdot -(n+1)\dots -(n+k-2)\cdot -(n+k-1)}{k!}}\\&=(-1)^{k}\;{\frac {n\cdot (n+1)\cdot (n+2)\cdots (n+k-1)}{k!}}\\&=(-1)^{k}{\binom {n+k-1}{k}}\\&=(-1)^{k}\left(\!\!{\binom {n}{k}}\!\!\right)\;.\end{aligned}}}
En particular, os coeficientes binomiais para enteiros negativos n poden darse con coeficientes multiconxuntos negativos.
Por exemplo,
(
−
4
7
)
=
−
10
⋅
−
9
⋅
−
8
⋅
−
7
⋅
−
6
⋅
−
5
⋅
−
4
1
⋅
2
⋅
3
⋅
4
⋅
5
⋅
6
⋅
7
=
(
−
1
)
7
4
⋅
5
⋅
6
⋅
7
⋅
8
⋅
9
⋅
10
1
⋅
2
⋅
3
⋅
4
⋅
5
⋅
6
⋅
7
=
(
(
−
7
7
)
)
(
(
4
7
)
)
=
(
−
1
7
)
(
10
7
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\binom {-4}{7}}&={\frac {-10\cdot -9\cdot -8\cdot -7\cdot -6\cdot -5\cdot -4}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}}\\&=(-1)^{7}\;{\frac {4\cdot 5\cdot 6\cdot 7\cdot 8\cdot 9\cdot 10}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\cdot 6\cdot 7}}\\&=\left(\!\!{\binom {-7}{7}}\!\!\right)\left(\!\!{\binom {4}{7}}\!\!\right)={\binom {-1}{7}}{\binom {10}{7}}.\end{aligned}}}
Dous argumentos reais ou complexos
editar
Xeneralízase a dous argumentos reais ou complexos usando a función gamma ou a función beta vía
(
x
y
)
=
Γ
(
x
+
1
)
Γ
(
y
+
1
)
Γ
(
x
−
y
+
1
)
=
1
(
x
+
1
)
B
(
y
+
1
,
x
−
y
+
1
)
.
{\displaystyle {x \choose y}={\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (y+1)\Gamma (x-y+1)}}={\frac {1}{(x+1)\mathrm {B} (y+1,x-y+1)}}.}
Esta definición herda as seguintes propiedades da
Γ
{\displaystyle \Gamma }
:
(
x
y
)
=
sin
(
y
π
)
sin
(
x
π
)
(
−
y
−
1
−
x
−
1
)
=
sin
(
(
x
−
y
)
π
)
sin
(
x
π
)
(
y
−
x
−
1
y
)
;
{\displaystyle {x \choose y}={\frac {\sin(y\pi )}{\sin(x\pi )}}{-y-1 \choose -x-1}={\frac {\sin((x-y)\pi )}{\sin(x\pi )}}{y-x-1 \choose y};}
e tamén,
(
x
y
)
⋅
(
y
x
)
=
sin
(
(
x
−
y
)
π
)
(
x
−
y
)
π
.
{\displaystyle {x \choose y}\cdot {y \choose x}={\frac {\sin((x-y)\pi )}{(x-y)\pi }}.}
A función resultante ten sido pouco estudada, ao parecer obtívose un gráfico dela por primeira vez en (Fowler 1996 ).
Xeneralización a q -series
editar
O coeficiente binomial ten un q-análogo coñecido como en:Gaussian binomial coefficient .
Véxase tamén
editar
Bibliografía
editar
Ash, Robert B. (1990) [1965]. Information Theory . Dover Publications, Inc. ISBN 0-486-66521-6 .
Benjamin, Arthur T. ; Quinn, Jennifer J. (2003). Proofs that Really Count: The Art of Combinatorial Proof . Dolciani Mathematical Expositions 27 . Mathematical Association of America . ISBN 978-0-88385-333-7 .
Bryant, Victor (1993). Aspects of combinatorics . Cambridge University Press. ISBN 0-521-41974-3 .
Flum, Jörg; Grohe, Martin (2006). Parameterized Complexity Theory . Springer. ISBN 978-3-540-29952-3 . Arquivado dende o orixinal o 2007-11-18. Consultado o 2017-08-28 .
Fowler, David (January 1996). "The Binomial Coefficient Function". The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 103 (1): 1–17. JSTOR 2975209 . doi :10.2307/2975209 .
Goetgheluck, P. (1987). "Computing Binomial Coefficients". American Mathematical Monthly 94 (4): 360–365. JSTOR 2323099 . doi :10.2307/2323099 .
Graham, Ronald L. ; Knuth, Donald E. ; Patashnik, Oren (1994). Concrete Mathematics (Second ed.). Addison-Wesley. pp. 153 –256. ISBN 0-201-55802-5 .
Gradshteyn, I. S.; Ryzhik, I. M. (2014). Table of Integrals, Series, and Products (8th ed.). Academic Press. ISBN 978-0-12-384933-5 .
Grinshpan, A. Z. (2010). Weighted inequalities and negative binomials . Advances in Applied Mathematics 45 . pp. 564–606. doi :10.1016/j.aam.2010.04.004 .
Higham, Nicholas J. (1998). Handbook of writing for the mathematical sciences . SIAM . p. 25 . ISBN 0-89871-420-6 .
Knuth, Donald E. (1997). The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms (Third ed.). Addison-Wesley. pp. 52–74. ISBN 0-201-89683-4 .
Singmaster, David (1974). "Notes on binomial coefficients. III. Any integer divides almost all binomial coefficients". Journal of the London Mathematical Society 8 (3): 555–560. doi :10.1112/jlms/s2-8.3.555 .
Shilov, G. E. (1977). Linear algebra . Dover Publications. ISBN 978-0-486-63518-7 .
Uspensky, James (1937). Introduction to Mathematical Probability . McGraw-Hill.
Outros artigos
editar
Ligazóns externas
editar