Factorial descendente e ascendente

función multiplicando n valores consecutivos en orde descendente ou ascendente

En matemáticas, o factorial descendente, [1] defínese como o polinomio,O factorial ascendente (ás veces chamado función de Pochhammer [1]) defínese comoEn ambos os casos o valor é 1 cando n = 0. Estes símbolos chámanse colectivamente potencias factoriais.[2]

O símbolo de Pochhammer, introducido por Leo August Pochhammer, é a notación (x)n, onde n é un número enteiro non negativo. Pode representar o factorial ascendente ou descendente, con diferentes artigos e autores usando convencións diferentes. O propio Pochhammer utilizou realmente (x)n con outro significado, a saber, para denotar o coeficiente binomial [3]

Neste artigo usaremos dous tipos de símbolos, o símbolo (x)n úsase para representar o factorial descendente e o símbolo x(n) para o factorial ascendente. Estas convencións úsanse en combinatoria, [4] aínda que as notacións de subliñado e sobreliñado de Knuth e son cada vez máis populares. [5] Son moi usados na función hiperxeométrica.

Exemplos e interpretación combinatoria

editar

Os primeiros factoriais descendentes son os seguintes: Os primeiros factoriais ascendentes son os seguintes: Os coeficientes que aparecen nas expansións son os números de Stirling do primeiro tipo.

Propiedades

editar

Os factoriais ascendentes e descendentes están relacionados entre si de xeito simple: Os factoriais descendentes e ascendentes de números enteiros están directamente relacionados co factorial ordinario: Os factoriais descendentes e crecentes pódense usar para expresar un coeficiente binomial: O factorial descendente pódese estender a valores reais de x usando a función gamma sempre que x e x + n sexan números reais que non son enteiros negativos: e tamén pode o factorial ascendente: O factorial ascendente tamén está na definición da función hiperxeométrica: A función hiperxeométrica defínese para |z| < 1 pola serie de potencias sempre que c ≠ 0, −1, −2, ... . Teña en conta, porén, que a literatura sobre funcións hiperxeométricas normalmente usa a notación (a)n para factoriais ascendentes.

Notacións alternativas

editar

Unha notación alternativa para o factorial ascendente e para o factorial descendente 

  1. 1,0 1,1 Steffensen, J.F. (17 de marzo de 2006). Interpolation (2nd ed.). Dover Publications. p. 8. ISBN 0-486-45009-0.  — A reprint of the 1950 edition by Chelsea Publishing.
  2. Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren (1988). Concrete Mathematics. Reading, MA: Addison-Wesley. pp. 47, 48, 52. ISBN 0-201-14236-8. 
  3. Knuth, D.E. (1992). Two notes on notation. American Mathematical Monthly 99. pp. 403–422. JSTOR 2325085. arXiv:math/9205211. doi:10.2307/2325085.  The remark about the Pochhammer symbol is on page 414.
  4. Olver, P.J. (1999). Classical Invariant Theory. Cambridge University Press. p. 101. ISBN 0-521-55821-2. MR 1694364. 
  5. Harris; Hirst; Mossinghoff (2008). Combinatorics and Graph Theory. Springer. ch. 2. ISBN 978-0-387-79710-6. 

Véxase tamén

editar

Outros artigos

editar

Ligazóns externas

editar