Abrir o menú principal

Función gamma

aplicación que estende o concepto de factorial aos números complexos
Función gamma no eixe real.
Valor absoluto da función gamma no plano complexo.

En matemáticas, a función gamma (denotada como , onde é a escritura en maiúscula da letra gamma do alfabeto grego) é unha aplicación que estende o concepto de factorial aos números complexos. A notación foi proposta por Adrien-Marie Legendre. Se a parte real do número complexo z é positiva, entón a integral


converxe absolutamente; esta integral pode ser estendida a todo o plano complexo, agás aos enteiros negativos e ao cero. Se n é un enteiro positivo, entón


o que amosa a relación desta función co factorial. De feito, a función gamma estende o concepto de factorial a calquera valor complexo de z. A función gamma aparece en varias funcións de distribución de probabilidade, polo que é bastante empregada tanto en probabilidade e estatística como en combinatoria.

Definición clásicaEditar

 
A función gamma no plano complexo.

Se a parte real do número complexo z é positiva (Re(z) > 0), entón a integral

 

converxe absolutamente. Empregando a integración por partes, obtense a seguinte propiedade:

 

Esta ecuación funcional xeneraliza a relación   do factorial. Pódese avaliar   analiticamente:

 

Combinando estes dous resultados dedúcese que o factorial é un caso particular da función gamma:

 

para os enteiros non negativos n.

A función gamma é unha función meromorfa de   con polos simples en   e residuos  .[1] Estas propiedades poden ser empregadas para estender   dende a súa definición inicial a todo o plano complexo (exceptuando os puntos nos que é singular) por continuación analítica.

Definicións alternativasEditar

As seguintes definicións da función gamma mediante produtos infinitos, debidas a Euler e Weierstrass respectivamente, son vixentes en todo o plano complexo z, agás para valores enteiros negativos:

 
 

onde   é a constante de Euler-Mascheroni.

É sinxelo comprobar que a definición de Euler satisfai a ecuación funcional, dada arriba, como segue: sexa  

 

Tamén se pode a seguinte representación integral:

 

Obtención da ecuación funcional empregando integración por partesEditar

Atopar   é sinxelo:

 

Obtense logo unha fórmula para   como unha función de  :

 

Empregando integración por partes para resolver a integral

 

No límite inferior obtense directamente  .

No infinito, empregando a regra de L'Hôpital:

 .

Polo que se anula o primeiro termo,  , o que nos dá o seguinte resultado:

 

A parte dereita da ecuación é exactamente  , co que se obtén unha relación de recorrencia:

 .

Aplicando a fórmula a uns poucos valores:

 
 
 
 

PropiedadesEditar

Da representación integral obtense:


 .

Outras ecuacións funcionais importantes da función gamma son a fórmula de reflexión de Euler


 

e a fórmula de duplicación


 

A fórmula de duplicación é un caso especial do teorema de multiplicación


 

Unha propiedade básica e moi útil da función gamma , que se pode obter a partir da definición mediante produtos infinitos de Euler é:


 

Varios límites útiles para aproximacións asintóticas:


 

O valor máis coñecido da función gamma con argumento non enteiro é:


 

que se pode obter facendo   na fórmula de reflexión ou na fórmula de duplicación, empregando a relación da función gamma coa función beta dada máis abaixo con   ou facendo a substitución   na definición integral da función gamma, co que se obtén unha integral Gaussiana. En xeral, para valores impares de n tense:


     (n impar)

onde n!! denota o dobre factorial. As derivadas da función gamma veñen dadas pola función poligamma. Por exemplo:


 

A partir da representación integral da función gamma, obtense que a súa derivada n-ésima é:


 

A función gamma ten un polo de orde 1 en   para todo número enteiro non negativo. O residuo en cada polo é:


 

O teorema de Bohr-Mollerup di que, entre todas as funcións que xeneralizan o factorial dos números naturais aos reais, só a función gamma é logaritmo convexa (o log-convexa), é dicir, o logaritmo natural da función gamma é unha función convexa.

O desenvolvemento en Serie de Laurent de   para valores 0 < z < 1 é:

 

Onde   é a función zeta de Riemann.

Función piEditar

Gauss introduciu unha notación alternativa da función gamma denominada función pi, que en termos da función gamma é:

 

Así, a relación desta función pi co factorial é bastante máis natural que no caso da función gamma:

 

A fórmula da reflexión toma a seguinte forma:

 

Onde sinc é a función sinc normalizada, o teorema da multiplicación escríbese así:

 

Ás veces atópase a seguinte definición

 

onde   é unha función enteira, definida para todo número complexo, pois non ten polos. A razón diso é que a función gamma e, polo tanto, a función pi, non teñen ceros.

Relación con outras funciónsEditar

  • Na representación integral da función gamma, tanto o límite superior como o inferior da integración están fixados. A función gamma incompleta superior   e inferior   obtéñense modificando os límites de integración superior ou inferior respectivamente.
 
 
  • A función gamma está relacionada coa función beta pola seguinte fórmula
 
 
 
 

Fórmula válida só se  . Tamén aparece na ecuación funcional de  :

 

Valores da función gammaEditar

 

AproximaciónsEditar

A función gamma pode calcularse numericamente con precisión arbitraria empregando a fórmula de Stirling, a aproximación de Lanczos ou a aproximación de Spouge.

Para argumentos que sexan múltiplos enteiros de 1/24, a función gamma pode ser avaliada rapidamente empregando iteracións de medias aritmético-xeométricas.

Debido a que tanto a función gamma como o factorial crecen moi rapidamente para argumentos moderadamente grandes, moitos programas de computación inclúen funcións que devolven o logaritmo da función gamma. Este crece máis lentamente, e en cálculos combinatorios é moi útil, pois pásase de multiplicar e dividir grandes valores a sumar ou restar os seus logaritmos.

Aplicacións da función gammaEditar

Cálculo fraccionarioEditar

A n-ésima derivada de   (onde n é un número natural) pode verse do seguinte xeito:

 

como   entón   onde n pode ser calquera número no que gamma estea definido ou se poida definir mediante límites.

Deste xeito pode calcularse por exemplo, a 1/2 derivada de  , de   e inclusive dunha constante  :

 

 

 

NotasEditar

  1. George Allen, and Unwin, Ltd., The Universal Encyclopedia of Mathematics. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc., 1964. (Forward by James R. Newman)

Véxase taménEditar

BibliografíaEditar

  • Artin, Emil (2006). Rosen, Michael, ed. "Exposition by Emil Artin: a selection". History of Mathematics (Providence, Rhode Island: American Mathematical Society) (30). 
  • Davis, Philip J. (1959). "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the gamma Function". Am. Math. Monthly (66): 849–869. 
  • Haible, Bruno; Papanikolaou, Thomas (1997). "Fast multiprecision avaliation of series of rational numbers". Technical Report (Darmstadt University of Technology) (TI-7/97). Arquivado dende o orixinal o 30 de xuño de 2006. Consultado o 17 de agosto de 2016. 
  • Havil, Julian (2003). gamma, Exploring Euler's Constant. ISBN 0-691-09983-9. 
  • Sebah, Pascal; Gourdon, Xavier. "Introduction to the gamma Function". 
  • Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1972). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Nova York: Dover. 
  • Arfken, G.; Weber, H. (2000). "10". Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press. 
  • Hochstadt, Harry (1986). "3". The Functions of Mathematical Physics. Nueva York: Dover. 
  • Press, W.H.; Flannery, B.P.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T. (1988). "Section 6.1". Numerical Recipes in C. Cambridge: Cambridge University Press. 
  • Murray R. Spiegel: Transformadas de Laplace, Edicións Schaumm.
  • Makárenko, Krasnov e Kiselev: Funcións de variable compleja, Cálculo operacional, Teoría de la estabilidad, editorial Mir.

Outros artigosEditar

Ligazóns externasEditar