Función gamma inversa

En matemáticas, a función gamma inversa $\Gamma ^{-1}(x)$ é a función inversa da función gamma. Noutras palabras, $y=\Gamma ^{-1}(x)$ sempre que ${\textstyle \Gamma (y)=x}$. Por exemplo, $\Gamma ^{-1}(24)=5$. A función gamma inversa refírese normalmente á rama principal con dominio no intervalo real $\left[\beta ,+\infty \right)$ e imaxe sobre o intervalo real $\left[\alpha ,+\infty \right)$, onde $\beta =0.8856031\ldots$ é o valor mínimo da función gamma no eixe real positivo e $\alpha =\Gamma ^{-1}(\beta )=1.4616321\ldots$ é a localización dese mínimo.

</img>

Gráfica dunha función gamma inversa

</img>

Gráfica da función gamma inversa no plano complexo

Definición

Podemos definir a función gamma inversa coa seguinte representación integral

$$\Gamma ^{-1}(x)=a+bx+\int _{-\infty }^{\Gamma (\alpha )}\left({\frac {1}{x-t}}-{\frac {t}{t^{2}-1}}\right)d\mu (t)\,,$$

onde $\mu (t)$ é unha medida de Borel tal que

$$\int _{-\infty }^{\Gamma \left(\alpha \right)}\left({\frac {1}{t^{2}+1}}\right)d\mu (t)<\infty \,,$$

e $a$ e $b$ son números reais con $b\geqq 0$.

Aproximación

Para calcular as ramas da función gamma inversa pódese calcular primeiro a serie de Taylor de $\Gamma (x)$ preto de $\alpha$. A serie pode logo ser truncada e invertida, o que produce sucesivamente mellores aproximacións $\Gamma ^{-1}(x)$. Por exemplo, temos a aproximación cadrática:

$$\Gamma ^{-1}\left(x\right)\approx \alpha +{\sqrt {\frac {2\left(x-\Gamma \left(\alpha \right)\right)}{\Psi \left(1,\ \alpha \right)\Gamma \left(\alpha \right)}}}.$$

Tamén temos para a función gamma inversa a seguinte fórmula asintótica

$$\Gamma ^{-1}(x)\sim {\frac {1}{2}}+{\frac {\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)}{W_{0}\left(e^{-1}\ln \left({\frac {x}{\sqrt {2\pi }}}\right)\right)}}\,,$$

onde $W_{0}(x)$ é a función W de Lambert. Esta fórmula conséguese invertendo a aproximación de Stirling, polo que tamén se pode expandir nunha serie asintótica.

Expansión en serie

Para obter unha expansión en serie da función gamma inversa pódese calcular primeiro a expansión en serie da función gamma recíproca ${\frac {1}{\Gamma (x)}}$ preto dos polos nos enteiros negativos, e despois inverter a serie.

Pondo $z={\frac {1}{x}}$ temos, para a rama n $\Gamma _{n}^{-1}(z)$ da función gamma inversa ($n\geq 0$)

$$\Gamma _{n}^{-1}(z)=-n+{\frac {\left(-1\right)^{n}}{n!z}}+{\frac {\psi ^{(0)}\left(n+1\right)}{\left(n!z\right)^{2}}}+{\frac {\left(-1\right)^{n}\left(\pi ^{2}+9\psi ^{(0)}\left(n+1\right)^{2}-3\psi ^{(1)}\left(n+1\right)\right)}{6\left(n!z\right)^{3}}}+O\left({\frac {1}{z^{4}}}\right)\,,$$

onde $\psi ^{(n)}(x)$ é a función poligamma.

Véxase tamén

Outros artigos

• Función gamma.