Distribución gamma

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Distribución.

Distribución gamma

Función de densidade
Función de distribución
Parámetros	k > 0 (forma), θ > 0 (escala)
Soporte	$\scriptstyle x\;\in \;(0,\,\infty )$
Función de densidade	${\frac {1}{\Gamma (k)\theta ^{k}}}x^{k\,-\,1}e^{-{\frac {x}{\theta }}}$
Función de distribución	${\frac {1}{\Gamma (k)}}\gamma \left(k,\,{\frac {x}{\theta }}\right)$
Media	$\scriptstyle \mathbf {E} [X]=k\theta$ $\scriptstyle \mathbf {E} [\ln X]=\psi (k)+\ln(\theta )$
Mediana
Moda	$\scriptstyle (k\,-\,1)\theta {\text{ for }}k\;{\geq }\;1$
Varianza	$\scriptstyle \operatorname {Var} [X]=k\theta ^{2}$ $\scriptstyle \operatorname {Var} [\ln X]=\psi _{1}(k)$
Asimetría	$\scriptstyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}$
Curtose	$\scriptstyle {\frac {6}{k}}$
Entropía	$\scriptstyle {\begin{aligned}\scriptstyle k&\scriptstyle \,+\,\ln \theta \,+\,\ln[\Gamma (k)]\\\scriptstyle &\scriptstyle \,+\,(1\,-\,k)\psi (k)\end{aligned}}$
F. xeradora de momentos	$\scriptstyle (1\,-\,\theta t)^{-k}{\text{ for }}t\;<\;{\frac {1}{\theta }}$
Func. caract.	$\scriptstyle (1\,-\,\theta i\,t)^{-k}$

En estatística a distribución gamma é unha distribución de probabilidade continua con dous parámetros $k$ e $\lambda$ cunha función de densidade para valores $x>0$ que ten como expresión:

$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}{\frac {(\lambda x)^{k-1}}{\Gamma (k)}}$

onde $e$ é o número e e $\Gamma$ é a función gamma. Para valores $k\in \mathbb {N}$ a función gamma é $\Gamma (k)=(k-1)!$ (o factorial de $k-1$). Neste caso, por exemplo para describir un proceso de Poisson, chámase distribución Erlang cun parámetro $\theta =1/\lambda$.

O valor esperado e a varianza dunha variable aleatoria X de distribución gamma son

$E[X]=k/\lambda =k\theta$

$V[X]=k/\lambda ^{2}=k\theta ^{2}$

Relacións

O tiempo ata que o suceso número $k$ ocorre nun proceso de Poisson de intensidade $\lambda$ é unha variable aleatoria con distribución gamma. Iso é a suma de $k$ variables aleatorias independentes que seguen unha distribución exponencial con parámetro $\lambda$.

Véxase tamén

Outros artigos

• Distribución beta
• Distribución de Erlang
• Distribución χ²

Ligazóns externas

• Cálculo da probabilidade dunha distribución gamma con R (linguaxe de programación)