Distribución khi cadrado

distribución de probabilidade
Distribución χ² (khi cadrado)
Función de densidade
Chi-square distributionPDF.png
Función de distribución
Chi-square distributionCDF.png
Parámetros graos de liberdade
Soporte
Función de densidade
Función de distribución
Media
Mediana aproximadamente
Moda if
Varianza
Asimetría
Curtose
Entropía
F. xeradora de momentos for
Func. caract.

A distribución khi cadrado (χ²), chamada tamén distribución de Pearson é unha distribución de probabilidade continua cun parámetro que representa os graos de liberdade da variable aleatoria:

Onde son variables aleatorias normais independentes de media cero e varianza un. Se a variable aleatoria segue esta distribución represéntase habitualmente .

PropiedadesEditar

Función de densidadeEditar

A súa función de densidade é:

 

onde   é a función gamma.

DemostraciónEditar

A función densidade de   se Z é tipo N(0,1) vén dada por  

Despexando e tendo en conta as contribucións positivas e negativas de z  

A función distribución de   vén dada pola súa convolución  

Aplicando a transformada de Laplace  

Aplicando a antitransformada obtense f(x;k)  

Función de distribuciónEditar

A súa función de distribución é

 

onde   é a función gamma incompleta.

O valor esperado e a varianza dunha variable aleatoria X con distribución χ² son, respectivamente, k e 2k.

Relación con outras distribuciónsEditar

A distribución χ² é un caso especial da distribución gamma. De feito,   Como consecuencia, cando  , a distribución χ² é unha distribución exponencial de media  .

Se k é suficientemente grande, como consecuencia do teorema central do límite, pode aproximarse por unha distribución normal:

 

AplicaciónsEditar

A distribución χ² ten moitas aplicacións en inferencia estatística. A máis coñecida é a denominada proba χ², empregada como proba de independencia e como proba da bondade do axuste e na estimación de varianzas. Tamén aparece no problema de estimar a media dunha poboación normalmente distribuída e no problema de estimar a pendente dunha recta de regresión linear, a través do seu papel na distribución t de Student.

Aparece tamén en todos os problemas da análise da varianza pola súa relación coa distribución F de Snedecor, que é a distribución do cociente de dúas variables aleatorias independentes con distribución χ².

Véxase taménEditar

Outros artigosEditar

Ligazóns externasEditar