Distribución t de Student

distribución de probabilidade
Distribución t de Student
Función de densidade
Student densite best.JPG
Función de distribución
T distributionCDF.png
Parámetros graos de liberdade (real)
Soporte
Función de densidade
Función de distribución onde é a función hiperxeométrica
Media para , indefinida para outros valores
Mediana
Moda
Varianza para , indefinida para outros valores
Asimetría para
Curtose para
Entropía
  • : función digamma,
  • : función beta
F. xeradora de momentos (Non definida)
Func. caract.

A distribución t (de Student) é unha distribución de probabilidade que xorde do problema de estimar a media dunha poboación normalmente distribuída cando o tamaño da mostra é pequeno.

Aparece de xeito natural ao realizar a proba t de Student para a determinación das diferenzas entre dúas medias das mostras e para a construción do intervalo de confianza para a diferenza entre as medias de dúas poboacións cando se descoñece o desvío estándar dunha poboación e esta debe ser estimada a partir dos datos dunha mostra.

CaracterizaciónEditar

A distribución t de Student é a distribución de probabilidade do cociente

 

onde

Se μ é unha constante non nula, o cociente   é unha variable aleatoria que segue a distribución t de Student non central con parámetro de non-centralidade  .

Aparición e especificacións da distribución t de StudentEditar

Supóñase que X1,..., Xn son variables aleatorias independentes distribuídas normalmente, con media μ e varianza σ2

Sexa

 

a media da mostra. Entón

 

segue unha distribución normal de media 0 e varianza 1.

Non obstante, dado que o desvío estándar non sempre se coñece previamente, Gosset estudou un cociente relacionado,

 
 

é a varianza da mostra e demostrou que a función de densidade de T é

 

onde   é igual a n − 1.

A distribución de T chámase agora a distribución-t de Student.

O parámetro   representa o número de graos de liberdade. A distribución depende de  , pero non de   ou  , o que é moi importante na práctica.

Intervalos de confianza derivados da distribución t de StudentEditar

O procedemento para o cálculo do intervalo de confianza baseado na t de Student consiste en estimar o desvío estándar dos datos S e calcular o erro estándar da media:  , sendo entón o intervalo de confianza para a media:   .

Este resultado é o que se emprega no test de Student: posto que a diferenza das medias de mostras de dúas distribucións normais distribúese tamén normalmente, a distribución t pode empregarse para examinar se esa diferenza se pode supor razoablemente igual a cero.

Para efectos prácticos o valor esperado e a varianza son:

  e   para     e   para     e   para     e   para  

HistoriaEditar

A distribución de Student foi descrita en 1908 por William Sealy Gosset. Gosset traballaba nunha fábrica de cervexa, Guinness, que prohibía aos seus empregados a publicación de artigos científicos debido a unha difusión previa de segredos industriais. Por ese motivo, Gosset publicou os seus resultados baixo o pseudónimo de Student (“estudante”).[1]

Distribución t de Student non estandarizadaEditar

A distribución t pode xeralizarse a 3 parámetros, introducindo un parámero locacional   e outro de escala  . O resultado é unha distribución t de Student non estandarizada cunha densidade que está definida por:[2]

 

Equivalentemente, pode escribirse en termos de   (correspondente á varianza en vez de ao desvío estándar):

 

Outras propiedades desta versión da distribución t son:[2]

 

NotasEditar

  1. Walpole, Roland; Myers, Raymond; Ye, Keying (2002). "Probability and Statistics for Engineers and Scientists". Pearson Education. 
  2. 2,0 2,1 Jackman, Simon (2009). Bayesian Analysis for the Social Sciences. Wiley. p. 507. 

Véxase taménEditar

Ligazóns externasEditar