Función característica

A función característica dunha variable aleatoria ou da súa distribución de probabilidade é unha función de variable real que toma valores complexos e que permite a aplicación de métodos analíticos (é dicir, da análise funcional) no estudo da probabilidade.

HistoriaEditar

O método das funcións características foi introducido nas probabilidades por A. Lyapunov en 1904 para a demostración do teorema central do límite que hoxe leva o seu nome. A versión definitiva deste teorema foi obtida posteriormente por J. W. Lindeberg.

DefiniciónEditar

Dada unha variable aleatoria continua   a súa función característica, que se denota mediante   para   real, defínese como

 

onde se fai uso da función exponencial complexa e   denota a esperanza matemática. Usando as propiedades da función exponencial complexa, a función característica pode rescribirse en termos dunha parte real e unha imaxinaria:

 

MomentosEditar

Cando os momentos dunha variable aleatoria existen, pódense calcular mediante as derivadas da función característica. Derivando formalmente ambos lados da definición e tomando  ,


 

e derivando dúas veces e substituíndo   resulta


 .

Desta maneira pódense obter expresións que permiten determinar a varianza e esperanza de  . Analogamente, se relacionan momentos e derivadas de ordes superiores:


 

Probabilidade e análise funcionalEditar

En análise funcional se se identifica a distribución da variable aleatoria considerada cunha medida positiva, a función característica denomínase transformada de Fourier da medida correspondente.

Función xeradora de momentosEditar

Unha función relacionada coa función característica é a función xeradora de momentos, designada como   que se define mediante


 

Aínda que esta función é máis sinxela, non sempre existe, dado que a esperanza matemática que a define pode non existir, dependiendo da distribución da variable aleatoria e do valor de  .