Transformada de Laplace
En Matemática, e en particular na Análise funcional, a transformada de Laplace dunha función f(t) definida para todo número real t ≥ 0 é a función F(s), definida por:
As propiedades desta transformada tórnanna útil para a análise de sistemas dinámicos lineares. A vantaxe máis interesante desta transformada é que a integración e a derivación tórnanse multiplicacións e divisións, da mesma maneira que o logaritmo transforma a multiplicación en adición. Ela permite levar a resolución de ecuacións diferenciais á resolución de ecuacións polinomiais, que son moito máis simples de resolver.
A transformada de Laplace ten o seu nome en homenaxe ao matemático francés Pierre Simon Laplace.
Notación en Enxeñaría/FísicaEditar
Un abuso ás veces conveniente de notación, que acontece principalmente entre enxeñeiros e físicos, espreme iso da forma seguinte:
Cando se fala de transformada de Laplace, reférese xeralmente á versión unilateral. Existe tamén a transformada de Laplace bilateral, que se define como segue:
A transformada de Laplace F(s) existe tipicamente para todos os números reais s > a, onde a é unha constante que depende do comportamento de crecemento de f(t).
A transformada de Laplace tamén pode utilizarse na resolución de ecuacións diferenciais, e é extensamente utilizada en enxeñaría eléctrica.
Un aspecto interesante da transformada de Laplace é que os matemáticos, ata hoxe, non coñecen o seu dominio. En outras palabras, non existe ningún conxunto de regras co cal se pode verificar se a transformada de Laplace pode ou non se aplicar a unha función.
PropiedadesEditar
LinearidadeEditar
DerivadaEditar
IntegralEditar
ComposiciónEditar
- Amortización
- Atraso
Nota: é a función de etapa de Heaviside.
Valor FinalEditar
ConvoluciónEditar
Transformada de Laplace dunha función de período pEditar
Algunhas transformadas usuaisEditar
Potencia nEditar
ExponencialEditar
SenoEditar
CosenoEditar
Seno hiperbólicoEditar
Coseno hiperbólicoEditar
Demostracción |
Logaritmo naturalEditar
Raíz nEditar
Función de Besel do primeiro tipoEditar
Función de Besel modificada do primeiro tipoEditar
Función erroEditar
Outras transformadas comúnsEditar
Transformada de Laplace | Función no dominio Tempo | , impulso unitario | |
, paso unitario | |||