Abrir o menú principal

En Matemática, e en particular na Análise funcional, a transformada de Laplace dunha función f(t) definida para todo número real t ≥ 0 é a función F(s), definida por:

As propiedades desta transformada tórnanna útil para a análise de sistemas dinámicos lineares. A vantaxe máis interesante desta transformada é que a integración e a derivación tórnanse multiplicacións e divisións, da mesma maneira que o logaritmo transforma a multiplicación en adición. Ela permite levar a resolución de ecuacións diferenciais á resolución de ecuacións polinomiais, que son moito máis simples de resolver.

A transformada de Laplace ten o seu nome en homenaxe ao matemático francés Pierre Simon Laplace.

Notación en Enxeñaría/FísicaEditar

Un abuso ás veces conveniente de notación, que acontece principalmente entre enxeñeiros e físicos, espreme iso da forma seguinte:

 

Cando se fala de transformada de Laplace, reférese xeralmente á versión unilateral. Existe tamén a transformada de Laplace bilateral, que se define como segue:

 

A transformada de Laplace F(s) existe tipicamente para todos os números reais s > a, onde a é unha constante que depende do comportamento de crecemento de f(t).

A transformada de Laplace tamén pode utilizarse na resolución de ecuacións diferenciais, e é extensamente utilizada en enxeñaría eléctrica.

Un aspecto interesante da transformada de Laplace é que os matemáticos, ata hoxe, non coñecen o seu dominio. En outras palabras, non existe ningún conxunto de regras co cal se pode verificar se a transformada de Laplace pode ou non se aplicar a unha función.

PropiedadesEditar

LinearidadeEditar

 

DerivadaEditar

 
 
 
 
 

IntegralEditar

 

ComposiciónEditar

  Amortización
 
  Atraso
 
 

Nota:   é a función de etapa de Heaviside.

Valor FinalEditar

 

ConvoluciónEditar

 

Transformada de Laplace dunha función de período pEditar

 

Algunhas transformadas usuaisEditar

Potencia nEditar

 

ExponencialEditar

 

SenoEditar

 

CosenoEditar

 

Seno hiperbólicoEditar

 

Coseno hiperbólicoEditar

 
Demostracción
 

Logaritmo naturalEditar

 

Raíz nEditar

 

Función de Besel do primeiro tipoEditar

 

Función de Besel modificada do primeiro tipoEditar

 

Función erroEditar

 

Outras transformadas comúnsEditar

Transformada de Laplace Función no dominio Tempo    , impulso unitario
   , paso unitario