Teorema de Kummer

En matemáticas, o teorema de Kummer é unha fórmula para calcular o expoñente da maior potencia dun número primo p que divide un coeficiente binomial dado. Noutras palabras, dá a valoración p-ádica dun coeficiente binomial. O teorema recibe o nome de Ernst Kummer, quen o demostrou nun artigo (Kummer 1852).

Teorema

O teorema de Kummer afirma que para os números enteiros dados n ≥ m ≥ 0 e un número primo p, a valoración p-ádica $\nu _{p}\!{\tbinom {n}{m}}$ do coeficiente binomial ${\tbinom {n}{m}}$ é igual ao número de carrexos cando se suma $m$ a $m-n$ en base p.

Unha forma equivalente do teorema é a seguinte:

Escribamos a expansión en base $p$ do número enteiro $n$ como $n=n_{0}+n_{1}p+n_{2}p^{2}+\cdots +n_{r}p^{r}$, e definamos $S_{p}(n):=n_{0}+n_{1}+\cdots +n_{r}$ como a suma dos díxitos en base $p$, entón

$\nu _{p}\!{\binom {n}{m}}={\dfrac {S_{p}(m)+S_{p}(n-m)-S_{p}(n)}{p-1}}.$

O teorema pódese demostrar escribindo ${\tbinom {n}{m}}$ como ${\tfrac {n!}{m!(n-m)!}}$ e usando a fórmula de Legendre.

Exemplos

Para calcular a maior potencia de 2 que divide o coeficiente binomial ${\tbinom {10}{3}}$ escribimos m = 3 e n − m = 7 na base p = 2 como 3 = 11₂ e 7 = 111₂. Realizamos a suma 11₂ + 111₂ = 1010₂ na base 2 require tres acarreos:

	1	1	1
			1	1 2
+		1	1	1 2
	1	0	1	0 2

Polo tanto a maior potencia de 2 que divide ${\tbinom {10}{3}}=120=2^{3}\cdot 15$ é 3.

Alternativamente, pódese usar a forma que inclúe sumas de díxitos. As sumas dos díxitos de 3, 7 e 10 na base 2 son $S_{2}(3)=1+1=2$, $S_{2}(7)=1+1+1=3$, e $S_{2}(10)=1+0+1+0=2$ respectivamente, daquela

$\nu _{2}\!{\binom {10}{3}}={\dfrac {S_{2}(3)+S_{2}(7)-S_{2}(10)}{2-1}}={\dfrac {2+3-2}{2-1}}=3.$

Xeneralización para coeficientes multinomiais

O teorema de Kummer pódese xeneralizar a coeficientes multinomiais ${\tbinom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}={\tfrac {n!}{m_{1}!\cdots m_{k}!}}$ como segue:

$\nu _{p}\!{\binom {n}{m_{1},\ldots ,m_{k}}}={\dfrac {1}{p-1}}\left(-S_{p}(n)+\sum _{i=1}^{k}S_{p}(m_{i})\right).$

Véxase tamén

Bibliografía

• Kummer, Ernst (1852). "Über die Ergänzungssätze zu den allgemeinen Reciprocitätsgesetzen". Journal für die reine und angewandte Mathematik 1852 (44): 93–146. doi:10.1515/crll.1852.44.93. 
• Kummer's theorem at PlanetMath.

Outros artigos

Teorema de Lucas