Polinomio

función simple e infinitamente diferenciábel

Un polinomio é unha expresión matemática formada por indeterminados (tamén chamados variables) e coeficientes, que implica só as operacións de suma, resta, multiplicación e potencias enteiras positivas das variables. Un exemplo de polinomio dun único x indeterminado é x2 − 4x + 7. Un exemplo con tres variables é x3 + 2xyz2yz + 1.

Etimoloxía

editar

A palabra polinomio une dúas raíces diversas: o grego poly, que significa "moitos", e o latín nomen, ou "nome". A palabra polinomio utilizouse por primeira vez no século XVII.

Notación e terminoloxía

editar
 
A gráfica dunha función polinómica de grao 3


Un polinomio P na variable x denótase comunmente P ou P(x). Cando non é necesario salientar o nome da variable, moitas fórmulas son moito máis sinxelas e de fácil lectura se non aparecen os nomes das variables.


Podemos escribir P(a) para asignar o valor a para a variable x. Ese valor a pode pertencer a calquera dominio onde se definan a suma e a multiplicación (é dicir, calquera anel). En particular, se a é un polinomio, entón P(a) tamén é un polinomio.

Definición

editar

Unha expresión polinómica é unha expresión que se pode construír a partir de constantes e símbolos chamados variables ou indeterminados mediante a suma, a multiplicación e a exponenciación a unha potencia enteira non negativa. Normalmente as constantes son números, pero poden ser calquera expresión que non involucre os indeterminados e representen obxectos matemáticos que se poden sumar e multiplicar. Considérase que dúas expresións polinómicas definen o mesmo polinomio se se poden transformar, unha a outra, aplicando as propiedades habituais de conmutividade, asociatividade e distributividade de suma e multiplicación. Por exemplo   e   son dúas expresións polinómicas que representan o mesmo polinomio; así, un ten a igualdade   .

Un polinomio nunha única x indeterminada sempre a pordemos reescribir na forma onde   son constantes que se denominan coeficientes do polinomio, e   é o indeterminado.[1] Calquera valor pode ser substituído por  . A correspondencia que asocia o resultado desta substitución ao valor substituído é unha función, chamada función polinómica.

Isto pódese expresar de forma máis concisa usando a notación de suma: 

Clasificación

editar

O expoñente dun indeterminado nun termo chámase grao dese indeterminado nese termo; se hai varios indeterminados o grao do termo é a suma dos graos dos indeterminados nese termo, e o grao dun polinomio é o maior grao de calquera termo con coeficiente distinto de cero.[2] Dado que x = x1, o grao dun indeterminado sen expoñente é un.

Un termo sen indeterminados e un polinomio sen indeterminados chámanse, respectivamente, termo constante e polinomio constante. O grao dun termo constante e dun polinomio constante distinto de cero é 0.

Por exemplo:  é un termo con coeficiente -5, indeterminados x e y, o grao de x é 2 e o grao de y é 1, por tanto o grao do termo é 3.

Outro exemplo:   consta de tres termos: o primeiro é o grao dous, o segundo é o grao un e o terceiro é o grao cero.

Aos polinomios de pequeno grao déronselles nomes específicos. Un polinomio de grao cero é un polinomio constante, ou simplemente unha constante. Os polinomios de grao un, dous ou tres son respectivamente polinomios lineares, polinomios cadráticos e polinomios cúbicos.[2]

No caso de polinomios en máis dun indeterminado, un polinomio denomínase homoxéneo de grao n se todos os seus termos distintos de cero teñen grao n. Por exemplo, x3y2 + 7x2y3 − 3x5 é homoxéneo de grao 5.

A lei conmutativa da suma pódese usar para reorganizar os termos en calquera orde preferida.

Dous termos cos mesmos indeterminados elevados ás mesmas potencias pódense sumar mediante a lei distributiva, nun único termo cuxo coeficiente é a suma dos coeficientes dos termos sumados. Os polinomios pódense clasificar polo número de termos con coeficientes distintos de cero, de xeito que un polinomio dun termo chámase monomio,[a] un polinomio de dous termos chámase binomio e un polinomio de tres termos chámase un trinomio.

Un polinomio real é un polinomio con coeficientes reais. Do mesmo xeito, un polinomio enteiro é un polinomio con coeficientes enteiros, e un polinomio complexo é un polinomio con coeficientes complexos .

Un polinomio nun indeterminado chámase polinomio univariado, un polinomio en máis dun indeterminado chámase polinomio multivariado. Un polinomio con dous indeterminados chámase polinomio bivariado.[1]

Operacións

editar

Suma e resta

editar

Os polinomios pódense sumar usando a lei asociativa da suma e reordenando usando a lei conmutativa. [3][4] Por exemplo, se temos     Daquela a suma   pódese reordenar e reagrupar como   E simplificarse finalmente a  

Cando se suman polinomios, o resultado é outro polinomio.

A resta faise de modo similar.

Multiplicación

editar

Os polinomios tamén se poden multiplicar. Cada termo dun polinomio multiplícase por cada termo do outro.[5] Por exemplo, se temos 

daquela  operando temos A combinación de termos similares produce  

que se pode simplificar a  

O produto de polinomios é sempre un polinomio.[6]

Composición

editar

Dado un polinomio   dunha soa variable e outro polinomio g de calquera número de variables, a composición   obtense substituíndo cada copia da variable do primeiro polinomio polo segundo polinomio. [6] Por exemplo, se   e   entón A composición de dous polinomios é outro polinomio.[7]

División

editar

Normalemtne a división dun polinomio por outro non é un polinomio. Estas divisións son unha familia máis xeral de obxectos, chamadas fraccións racionais, expresións racionais ou funcións racionais, dependendo do contexto. [8] Isto é análogo ao feito de que a división de dous enteiros é un número racional, non necesariamente un enteiro.[9][10]Por exemplo, a fracción 1/(x2 + 1) non é un polinomio e non se pode escribir como unha suma finita de potencias da variable x.

Con polinomios dunha variable podemos realizar a división de Euclides de polinomios, xeneralizando a división de Euclides de números enteiros. [b] Esta noción da división a(x)/b(x) dá como resultado dous polinomios, un cociente q(x) e un resto r(x), tal que a = b q + r e grao(r) < grao(b). O cociente e o resto pódense calcular mediante calquera dos varios algoritmos, incluíndo a división polinómica longa e a división sintética.[11]

Cando o denominador b(x) é mónico e tamén linear, é dicir, b(x) = xc para algunha constante c, entón o teorema do resto polinómico afirma que o resto da división de a(x) por b(x) é a avaliación a(c). [10] Neste caso, o cociente pódese calcular mediante a regra de Ruffini, un caso especial de división sintética.[12]

Factorización

editar

Todos os polinomios con coeficientes nun dominio de factorización único (por exemplo, os números enteiros ou un corpo) tamén teñen unha forma factorizada na que o polinomio se escribe como un produto de polinomios irredutibles e unha constante. Por exemplo, a forma factorizada de é, no corpo dos enteiros e os reais e nos complexos 

Cálculo

editar

Calcular derivadas e integrais de polinomios é particularmente sinxelo, en comparación con outros tipos de funcións. A derivada do polinomio   con respecto a x é o polinomio   Do mesmo xeito, a integral ou antiderivada xeral de   é   onde c é unha constante arbitraria. Por exemplo, a integral de x2 + 1 ten a forma 1/3x3 + x + c.

Para polinomios cuxos coeficientes proveñen de configuracións máis abstractas (por exemplo, se os coeficientes son números enteiros módulo algún número primo p, ou elementos dun anel), a fórmula da derivada aínda se pode interpretar formalmente, entendendo que o coeficiente kak significa a suma de k copias de ak. Por exemplo, sobre os números enteiros módulo p, a derivada do polinomio xp + x é o polinomio constante 1.[13]

Funcións polinómicas

editar

Unha función polinómica é unha función que se pode definir avaliando un polinomio.

Toda función polinómica é continua, suave e enteira.

A avaliación dun polinomio é o cálculo da función polinómica correspondente; é dicir, a avaliación consiste en substituír un valor numérico en cada indeterminado e realizar as multiplicacións e sumas indicadas.

Gráficos

editar

Unha función polinómica non constante tende ao infinito cando a variable aumenta indefinidamente (en valor absoluto). Se o grao é superior a un, a gráfica non ten asíntota ningunha, nese caso ten dúas ramas parabólicas con dirección vertical (unha rama para x positivo e outra para x negativo).

Ecuacións

editar

Unha ecuación polinómica, tamén chamada ecuación alxébrica, é unha ecuación da forma [14] Por exemplo, Unha ecuación polinómica contrasta cunha identidade polinómica como (x + y)(xy) = x2y2, onde ambas as expresións representan o mesmo polinomio en diferentes formas e, como consecuencia, calquera avaliación de ambos os membros dá unha igualdade válida.

En álxebra elemental, ensínanse métodos como a fórmula cadrática para resolver todas as ecuacións polinómicas de primeiro e segundo grao nunha soa variable. Tamén pódense usar algoritmos de busca de raíces para atopar aproximacións numéricas das raíces dunha expresión polinómica de calquera grao.

O número de solucións dunha ecuación polinómica con coeficientes reais non pode exceder o grao, e é igual ao grao cando as solucións complexas se contan coa súa multiplicidade. Este feito chámase teorema fundamental da álxebra.

Un número a é unha raíz dun polinomio P se e só se o polinomio linear xa divide P, é dicir, se existe outro polinomio Q tal que P = (xa) Q. Pode ocorrer que unha potencia (maior que 1) de xa divida P ; neste caso, a é unha raíz múltiple de P, e se non a é unha raíz simple de P. Se P é un polinomio distinto de cero, existe a maior potencia m tal que (xa)m divide P, que se chama multiplicidade de a como raíz de P. O número de raíces dun polinomio P distinto de cero, contado coas súas respectivas multiplicidades, non pode exceder o grao de P,[15] e é igual a este grao se se consideran todas as raíces complexas (isto é unha consecuencia do teorema fundamental da álxebra). Os coeficientes dun polinomio e as súas raíces están relacionados mediante as fórmulas de Viète.

En 1824, Niels Henrik Abel demostrou o resultado de que hai ecuacións de grao 5 cuxas solucións non se poden expresar mediante unha fórmula (finita), que só implican operacións aritméticas e radicais (ver teorema de Abel-Ruffini). En 1830, Évariste Galois demostrou que a maioría das ecuacións de grao superior a catro non se poden resolver mediante radicais, e demostrou que para cada ecuación pódese decidir se é resoluble por radicais e, se é así, resolvela. Este resultado marcou o inicio da teoría de Galois e da teoría de grupos, dúas ramas importantes da álxebra moderna.

Cando non hai unha expresión alxébrica para as raíces, e cando tal expresión alxébrica existe mais é demasiado complicada para ser útil, a única forma de resolvela é calcular aproximacións numéricas das solucións.[16] (Ver Algoritmo de busca de raíces).

Para polinomios con máis dun indeterminado, as combinacións de valores das variables para as que a función polinómica toma o valor cero chámanse xeralmente ceros en lugar de "raíces". (Ver Sistema de ecuacións polinómicas).

O caso especial no que todos os polinomios son de grao un chámase sistema de ecuacións lineares, para o cal existe outra gama de métodos de solución diferentes, incluíndo a eliminación clásica de Gauss.

Unha ecuación polinómica na que só se queren as solucións que son enteiros chámase ecuación diofantiana. Resolver ecuacións diofantianas é xeralmente unha tarefa moi difícil. Probouse que non pode haber ningún algoritmo xeral para resolvelas, nin sequera para decidir se o conxunto de solucións está baleiro (ver o décimo problema de Hilbert). Algúns dos problemas máis famosos que se resolveron durante os últimos cincuenta anos están relacionados coas ecuacións diofántianas, como o último teorema de Fermat.

  1. 1,0 1,1 Weisstein, Eric W. "Polynomial". mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado o 2020-08-28. 
  2. 2,0 2,1 "Polynomials | Brilliant Math & Science Wiki". brilliant.org (en inglés). Consultado o 2020-08-28. 
  3. Edwards, Harold M. (1995). Linear Algebra. Springer. p. 47. ISBN 978-0-8176-3731-6. 
  4. Salomon, David (2006). Coding for Data and Computer Communications. Springer. p. 459. ISBN 978-0-387-23804-3. 
  5. Salomon, David (2006). Coding for Data and Computer Communications. Springer. p. 459. ISBN 978-0-387-23804-3. 
  6. 6,0 6,1 Barbeau 2003, p. 1–2
  7. Kriete, Hartje (1998-05-20). Progress in Holomorphic Dynamics (en inglés). CRC Press. p. 159. ISBN 978-0-582-32388-9. This class of endomorphisms is closed under composition, 
  8. Marecek, Lynn; Mathis, Andrea Honeycutt (6 May 2020). Intermediate Algebra 2e. OpenStax. §7.1. 
  9. Haylock, Derek; Cockburn, Anne D. (2008-10-14). Understanding Mathematics for Young Children: A Guide for Foundation Stage and Lower Primary Teachers. SAGE. p. 49. ISBN 978-1-4462-0497-9. We find that the set of integers is not closed under this operation of division. 
  10. 10,0 10,1 Marecek & Mathis 2020
  11. Selby, Peter H.; Slavin, Steve (1991). Practical Algebra: A Self-Teaching Guide (2nd ed.). Wiley. ISBN 978-0-471-53012-1. 
  12. Weisstein, Eric W. "Ruffini's Rule". mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado o 2020-07-25. 
  13. Barbeau 2003, pp. =CynRMm5qTmQC&pg=PA64 64–5
  14. Proskuryakov, I.V. (1994). "Algebraic equation". En Hazewinkel, Michiel. Encyclopaedia of Mathematics 1. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4. 
  15. Leung, Kam-tim (1992). Polynomials and Equations. Hong Kong University Press. p. 134. ISBN 9789622092716. 
  16. McNamee, J.M. (2007). Numerical Methods for Roots of Polynomials, Part 1. Elsevier. ISBN 978-0-08-048947-6. 
  1. Algúns autores usan "monomio" en vez de "mónico". Ver Knapp, Anthony W. (2007). Advanced Algebra: Along with a Companion Volume Basic Algebra. Springer. p. 457. ISBN 978-0-8176-4522-9. 
  2. Este parágrafo asume que os coeficientes son dun corpo.

Véxase tamén

editar

Bibliografía

editar

Outros artigos

editar

Ligazóns externas

editar