Abrir o menú principal

Paolo Ruffini

En matemáticas, a regra de Ruffini facilita o cálculo rápido da división de calquera polinomio entre un binomio da forma . Descrita por Paolo Ruffini en 1809, é un caso especial de división sintética (unha división de polinomios en que o divisor é un factor linear).[1] O algoritmo de Horner para a división de polinomios emprega a regra de Ruffini.[2] A regra de Ruffini permite ademais localizar as raíces dun polinomio e factorizalo en binomios da forma (sendo r un número enteiro) se é coherente.

Índice

HistoriaEditar

O método de Ruffini-Horner para a procura dun valor aproximado da raíz dun polinomio foi publicado con algúns anos de diferenza por Paolo Ruffini (1804-1807-1813) e por William George Horner (1819-1845, postumamente); seica Horner non tiña coñecementos dos traballos de Ruffini.

O método de Ruffini-Horner é dificilmente explotable se o polinomio posúe dúas raíces moi próximas. Ruffini non considera este problema, mais Horner propuxo un procedemento especial para estes casos.[3] O método de Horner foi empregado polos matemáticos De Morgan e J.R. Young.

En tanto que técnica de cambio de variable, historicamente atópanse algoritmos semellantes, por exemplo na China, para a extracción da raíz n-ésima[4] ou na obra de Al Samaw'al (século XII).[5] O matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi (século XII) foi un dos primeiros en aplicalo ao caso xeral dunha ecuación de terceiro grao.[6]

AlgoritmoEditar

A regra de Ruffini establece un método para a división do polinomio

 

entre o binomio

 

para obter o cociente

 

e o resto:

 

  • 1. Trázanse dúas liñas como eixes e escríbense os coeficientes de P(x), ordenados e sen omitir termos nulos. Escríbese a raíz r do lado esquerdo e o primeiro coeficiente na ringleira inferior (an):

 

  • 2. Multiplícase (an) por r e escríbese debaixo de an-1:

 

  • 3. Súmanse os dous valores obtidos na mesma columna:

 

  • 4. Repítese o proceso:

 

Os valores b son os coeficientes do polinomio resultante   de grao un menos que o grao de  . O valor final obtido,  , é o resto, que como amosa o teorema do resto, é igual a  .

Usos da regraEditar

Atopar raícesEditar

Se   é un polinomio con coeficientes enteiros e con a0 e an distintos de cero, entón polo teorema das raíces racionais, todas as raíces racionais reais serán da forma p/q, onde p é un enteiro divisor de a0 e q é un enteiro divisor de an. Así por exemplo, se o polinomio é

 

entón as posibles raíces racionais son todos os enteiros divisores de a0 (−2):

 

Isto resulta útil para poder factorizar un polinomio (en caso de ser factorizable) de coeficientes enteiros, empregando os divisores do termo independente.

ExemplosEditar

Exemplo 1Editar

División de   entre   empregando a regra de Ruffini.

1. Escríbese   e o primeiro coeficiente (2) na primeira ringleira:

 

2. Multiplícase pola raíz r=(-1):

 

3. Sumase a columna:

 

4. O procedemento repítese ata obter o resto:

 

Se o polinomio orixinal = divisor×cociente+resto, entón

 , onde
  e  

Exemplo 2Editar

Cando o resto é igual a 0; permite factorizar, como no seguinte exemplo:

 

Tomando

 

Emprégase o método, e queda:

 

Entón F(x) factoriza como  

NotasEditar

  1. Synthetic Division (en inglés)
  2. Tamén se coñece como método de Horner ou algoritmo de Ruffini-Horner.
  3. Florian Cajori, Horner's method of approximation anticipated by Ruffini, American Mathematical Society, 21 de novembro de 1910.
  4. Jiuzhang Suanshu ("Os nove capítulos da arte matemática"), ChemlaShuchun, cap. 4
  5. Hélène Bellosta, À propos de l'histoire des sciences arabes Arquivado 16 de novembro de 2006 en Wayback Machine., Gazette des mathématiciens, n°82, outubro de 1999.
  6. J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", Journal of the American Oriental Society 110 (2), p. 304-309.

Véxase taménEditar

Outros artigosEditar

Ligazóns externasEditar