Regra de Ruffini

En matemáticas, a regra de Ruffini facilita o cálculo rápido da división de calquera polinomio entre un binomio da forma $(x-r)\$. Descrita por Paolo Ruffini en 1809, é un caso especial de división sintética (unha división de polinomios en que o divisor é un factor linear). O algoritmo de Horner para a división de polinomios emprega a regra de Ruffini. A regra de Ruffini permite ademais localizar as raíces dun polinomio e factorizalo en binomios da forma $(x-r)\$ (sendo r un número enteiro) se é coherente.

Paolo Ruffini

Historia

O método de Ruffini-Horner para a procura dun valor aproximado da raíz dun polinomio foi publicado con algúns anos de diferenza por Paolo Ruffini (1804-1807-1813) e por William George Horner (1819-1845, postumamente); seica Horner non tiña coñecementos dos traballos de Ruffini.

O método de Ruffini-Horner é dificilmente explotable se o polinomio posúe dúas raíces moi próximas. Ruffini non considera este problema, mais Horner propuxo un procedemento especial para estes casos. O método de Horner foi empregado polos matemáticos De Morgan e J.R. Young.

En tanto que técnica de cambio de variable, historicamente atópanse algoritmos semellantes, por exemplo na China, para a extracción da raíz n-ésima ou na obra de Al Samaw'al (século XII). O matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi (século XII) foi un dos primeiros en aplicalo ao caso xeral dunha ecuación de terceiro grao.

Algoritmo

A regra de Ruffini establece un método para a división do polinomio

$P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}$

entre o binomio

$Q(x)=x-r\,\!$

para obter o cociente

$R(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}$

e o resto:

$s.\!$

• 1. Trázanse dúas liñas como eixes e escríbense os coeficientes de P(x), ordenados e sen omitir termos nulos. Escríbese a raíz r do lado esquerdo e o primeiro coeficiente na ringleira inferior (a_n):

${\begin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&{}&{}&{}&{}&{}\\\hline {}&a_{n}&{}&{}&{}&{}\\{}&=b_{n-1}&{}&{}&{}&{}\\\end{array}}$

• 2. Multiplícase (a_n) por r e escríbese debaixo de a_n-1:

${\begin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&{}&b_{n-1}\,r&{}&{}&{}\\\hline {}&a_{n}&{}&{}&{}&{}\\{}&=b_{n-1}&{}&{}&{}&{}\\\end{array}}$

• 3. Súmanse os dous valores obtidos na mesma columna:

${\begin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&{}&b_{n-1}\,r&{}&{}&{}\\\hline {}&a_{n}&a_{n-1}+b_{n-1}\,r&{}&{}&{}\\{}&=b_{n-1}&=b_{n-2}&{}&{}&{}\\\end{array}}$

• 4. Repítese o proceso:

${\begin{array}{c|ccccc}{}&a_{n}&a_{n-1}&\dots &a_{1}&a_{0}\\r&{}&b_{n-1}\,r&\dots &b_{1}\,r&b_{0}\,r\\\hline {}&a_{n}&a_{n-1}+b_{n-1}\,r&\dots &a_{1}+b_{1}\,r&a_{0}+b_{0}\,r\\{}&=b_{n-1}&=b_{n-2}&\dots &=b_{0}&=s\\\end{array}}$

Os valores b son os coeficientes do polinomio resultante $R(x)\!$ de grao un menos que o grao de $P(x)\!$. O valor final obtido, $s$, é o resto, que como amosa o teorema do resto, é igual a $P(r)\!$.

Usos da regra

Atopar raíces

Véxase tamén: Teorema das raíces racionais.

Se $P(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}$ é un polinomio con coeficientes enteiros e con a₀ e a_n distintos de cero, entón polo teorema das raíces racionais, todas as raíces racionais reais serán da forma p/q, onde p é un enteiro divisor de a₀ e q é un enteiro divisor de a_n. Así por exemplo, se o polinomio é

$P(x)=x^{3}+2x^{2}-x-2=0\,\!,$

entón as posibles raíces racionais son todos os enteiros divisores de a₀ (−2):

${\text{Posibles raíces:}}\left\{+1,-1,+2,-2\right\}.$

Isto resulta útil para poder factorizar un polinomio (en caso de ser factorizable) de coeficientes enteiros, empregando os divisores do termo independente.

Exemplos

Exemplo 1

División de $P(x)=2x^{3}+3x^{2}-4\,\!$ entre $Q(x)=x+1.\,\!$ empregando a regra de Ruffini.

1. Escríbese $Q(x)=x+1=x-(-1)\,\!$ e o primeiro coeficiente (2) na primeira ringleira:

${\begin{array}{c|cccc}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{}&{}&{}\\\hline {}&2&{}&{}&{}\\\end{array}}$

2. Multiplícase pola raíz r=(-1):

${\begin{array}{c|rrrr}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{-2}&{}&{}\\\hline {}&2&{}&{}&{}\\\end{array}}$

3. Sumase a columna:

${\begin{array}{c|rrrr}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{-2}&{}&{}\\\hline {}&2&{1}&{}&{}\\\end{array}}$

4. O procedemento repítese ata obter o resto:

${\begin{array}{c|rrrr}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{-2}&{-1}&{1}\\\hline {}&2&{1}&{-1}&{-3}\\{}&\mathrm {Coef.} &{}&{}&\mathrm {Resto} \end{array}}$

Se o polinomio orixinal = divisor×cociente+resto, entón

$P(x)=Q(x)R(x)+s\,\!$, onde

$R(x)=2x^{2}+x-1\,\!$ e $s=-3.\,\!$

Exemplo 2

Cando o resto é igual a 0; permite factorizar, como no seguinte exemplo:

$F(x)=x^{3}+x^{2}-x-1$

Tomando

$G(x)=x+1$

Emprégase o método, e queda:

${\begin{array}{c|rrrr}{}&1&1&-1&-1\\-1&{}&{-1}&{0}&{1}\\\hline {}&1&{0}&{-1}&{0}\\{}&\mathrm {Coef.} &{}&{}&\mathrm {Resto} \end{array}}$

Entón F(x) factoriza como $(x^{2}-1)(x+1)$

Véxase tamén

Outros artigos

• Operacións con polinomios
• Algoritmo de Horner
• Paolo Ruffini

Ligazóns externas

• Stapel, Elizabeth. "Synthetic Division: The Process". Purplemath (en inglés). Consultado o 30 de novembro de 2011.