Homeomorfismo

En topoloxía, un homeomorfismo (do grego ὅμοιος (homoios) = mesma e μορφή (morphē) = forma)[1] é unha función dun espazo topolóxico noutro, que cumpre con ser unha función un a un continua e cuxa inversa é continua. Neste caso, os dous espazos topolóxicos chámanse homeomorfos. As propiedades destes espazos que se conservan baixo homeomorfismos denomínanse propiedades topolóxicas.

Exemplo clásico de dúas figuras homeomorfas: unha cunca e un toro ou dónut.

Na categoría de espazos topolóxicos, os morfismos son as funcións continuas e os isomorfismos son os homeomorfismos. Consecuentemente, a composición de dous homeomorfismos é de novo un homeomorfismo, e o conxunto de todos os homeomorfismos h:XX dun espazo en si mesmo forman un grupo chamado grupo de homeomorfismos de X, que adoita notarse como Homeo(X).

De modo intuitivo, o concepto de homeomorfismo reflicte como dous espazos topolóxicos son «os mesmos» vistos doutra maneira: permitindo estricar, dobrar ou cortar e pegar. Con todo, os criterios intuitivos de «estricar», «dobrar», «cortar e pegar» requiren de certa práctica para aplicalos correctamente. Deformar un segmento de liña até un punto non está permitido, por exemplo. Contraer de maneira continua un intervalo até un punto é outro proceso topolóxico de deformación chamado homotopía.

DefiniciónEditar

A definición de homeomorfismo é a seguinte:

Sexan   e   espazos topolózicos, e   unha función de   en  ; entón,   é un homeomorfismo se se cumpre:
  •   é unha bixección
  •   é continua
  • A inversa de   é continua

Se   é un homeomorfismo, dise que   é homeomorfo a  . Se dous espazos son homeomorfos entón teñen exactamente as mesmas propiedades topolóxicas. Dende o punto de vista da teoría de categorías, dous espazos que son homeomorfos son iguais topoloxicamente falando.

ExemplosEditar

  • Dous espazos dotados da topoloxía discreta son homeomorfos se e só se teñen a mesma cardinalidade.
  • Se X é un espazo compacto e Y é un espazo de Hausdorff, entón   é un homeomorfismo se e só se f é unha bixección continua. Isto é, non é necesario verificar que a inversa de f sexa continua. Esta propiedade é útil en moitas situacións.
  • Unha esfera n-dimensional á que se lle quitou un punto,  , é homeomorfa ao espazo euclidiano  . O homeomorfismo pode ser construído a partir da proxección estereográfica.

DifeomorfismoEditar

Un difeomorfismo é un homeomorfismo diferenciable entre variedades diferenciables cuxa inversa tamén é diferenciable; é dicir, é un isomorfismo de variedades diferenciables. Os cambios de coordenadas constitúen un caso particular de difeomorfismo.

Un exemplo para distinguir entre homeomorfismo e difeomorfismo:

Unha circunferencia e o perímetro dun cadrado son homeomorfos, pero non difeomorfos.

Tamén:

Dúas curvas calquera, no espazo, son homeomorfas, no sentido que existe un homeomorfismo entre elas.
Dous volumes tipo «cunca de café con asa» e un «toro» son homeomorfos.[2]
Un cambio de coordenadas regular pode representarse como un difeomorfismo entre os respectivos dominios das coordenadas.

En física os difeomorfismos son amplamente usados:

Na mecánica hamiltoniana o fluxo asociado á evolución temporal dun sistema mecánico é un difeomorfismo. Tamén calquera transformación canónica é un difeomorfismo.
Na mecánica de medios continuos a deformación é un difeomorfismo desde unha configuración inicial á configuración final. O conxunto de todos estes difeomorfismos forma un grupo de Lie de dimensión infinita.
Na relatividade xeral a evolución do espazo-tempo vén dada por un grupo uniparamétrico de difeomorfismos. O grupo de norma da relatividade xeral é o grupo de difeomorfismos que ademais son isometrías.

NotasEditar

  1. Gamelin, T. W., & Greene, R. E. (1999). Introduction to topology. Courier Corporation. [1]
  2. Hubbard, John H.; West, Beverly H. (1995). Differential Equations: A Dynamical Systems Approach. Part II: Higher-Dimensional Systems. Texts in Applied Mathematics 18. Springer. p. 204. ISBN 978-0-387-94377-0. 

Véxase taménEditar

Outros artigosEditar

Ligazóns externasEditar