Diagonal

En xeometría, unha diagonal é un segmento de liña que une dous vértices dun polígono ou poliedro, cando eses vértices non están na mesma aresta . Informalmente, calquera liña inclinada chámase diagonal. A palabra diagonal deriva do grego antigo διαγώνιος diagonios, "de ángulo en ángulo" (de διά- dia-, "a través", "a través" e γωνία gonia, "ángulo", relacionado con gony "xeonllo"); foi usado tanto por Estrabón como por Euclides para referirse a unha liña que une dous vértices dun rombo ou cuboide, e máis tarde adoptouse en latín como diagonus ("liña inclinada").

As diagonais dun cubo cunha lonxitude de lado 1. AC' (mostrado en azul) é unha diagonal espacial con lonxitude ${\sqrt {3}}$, mentres que AC (mostrada en vermello) é unha diagonal da cara e ten lonxitude ${\sqrt {2}}$.

En álxebra matricial, a diagonal dunha matriz cadrada está formada polas entradas da liña dende a esquina superior esquerda ata a esquina inferior dereita.

Polígonos

Aplicada a un polígono, unha diagonal é un segmento de liña que une dous vértices non consecutivos calquera. Polo tanto, un cuadrilátero ten dúas diagonais, que unen pares opostos de vértices. Para calquera polígono convexo, todas as diagonais están dentro do polígono, pero para polígono cóncavo, algunhas diagonais están fóra do polígono.

Calquera polígono de n lados (n ≥ 3), convexo ou cóncavo, ten ${\tfrac {n(n-3)}{2}}$ diagonais totais, xa que cada vértice ten diagonais a todos os demais vértices agás a si mesmo e os dous vértices adxacentes, ou n − 3 diagonais, e cada diagonal é compartida por dous vértices.

En xeral, un polígono regular de n lados ten ${\Big \lfloor }{\frac {n-2}{2}}{\Big \rfloor }$ diagonais distintas de lonxitude, que segue o modelo 1,1,2,2,3,3... partindo dun cadrado.

Rexións formadas por diagonais

Nun polígono convexo, se non hai tres diagonais concorrentes nun só punto do interior, o número de rexións nas que as diagonais dividen o interior vén dado por

${\binom {n}{4}}+{\binom {n-1}{2}}={\frac {(n-1)(n-2)(n^{2}-3n+12)}{24}}.$

Formando a secuencia OEIS A006522.

Interseccións de diagonais

Se non hai tres diagonais dun polígono convexo concorrentes nun punto do interior, o número de interseccións interiores das diagonais ven dado por ${\binom {n}{4}}$. Isto vale, por exemplo, para calquera polígono regular cun número impar de lados. A fórmula segue do feito de que cada intersección está determinada de forma única polos catro extremos das dúas diagonais que se cruzan: o número de interseccións é polo tanto o número de combinacións dos n vértices tomados de catro en catro.

Poliedros

Un poliedro (un obxecto sólido no espazo tridimensional, limitado por caras bidimensionais) pode ter dous tipos diferentes de diagonais: diagonais de caras nas distintas caras, que conectan vértices non adxacentes na mesma cara; e diagonais espaciais, totalmente no interior do poliedro (agás os extremos dos vértices).

Matrices

Para unha matriz cadrada, a diagonal (ou diagonal principal ou diagonal principal ) é a liña diagonal das entradas que vai dende a esquina superior esquerda ata a esquina inferior dereita. Para unha matriz $A$ co índice de fila especificado por $i$ e índice de columna especificado por $j$, estas serían as entradas $A_{ij}$ con $i=j$. Por exemplo, a matriz de identidade pódese definir como tendo entradas de 1 na diagonal principal e ceros noutro lugar:

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

A diagonal que vai do elemento superior á dereita ata o lado inferior á esquerda tamén se chama ás veces antidiagonal.

Véxase tamén

Bibliografía

• Bronson, Richard (1970). Matrix Methods: An Introduction. New York: Academic Press. LCCN 70097490. 
• Cullen, Charles G. (1966). Matrices and Linear Transformations. Reading: Addison-Wesley. LCCN 66021267. 
• Herstein, I. N. (1964). Topics In Algebra. Waltham: Blaisdell Publishing Company. ISBN 978-1114541016. 
• Nering, Evar D. (1970). Linear Algebra and Matrix Theory (2nd ed.). New York: Wiley. LCCN 76091646. 

Ligazóns externas

• Diagonals of a polygon con animación
• Polygon diagonal, de MathWorld.
• Diagonal dunha matriz, de MathWorld.