Cuadrilátero

En xeometría euclidiana, un cuadrilátero, cuadrángulo ou tetrágono é un polígono de catro lados e catro vértices.

Imaxe dun cuadrilátero.

Proposicións

• Os cuadriláteros teñen dúas diagonais.
• As diagonais dun cuadrilátero córtanse nun punto interior, se e só se é convexo.

• A suma das medidas dos ángulos dun cuadrilátero $ABCD$ convexo es 360º ou 2π radiáns.

$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ }$

• Se un cuadrilátero está inscrito nunha circunferencia, a suma da medida dos seus ángulos opostos é igual a 180º.
• Sexa ABCD un cuadrilátero inscrito nunha circunferencia de diámetro $AB$, entón as proxeccións dos lados AD e BC sobre a recta CD son iguais.
• A área dun cuadrilátero inscrito obtense coa fórmula $A={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}$ onde a, b, c, d son os lados e p é o semiperímetro.
• Se se unen con catro segmentos os puntos medios de todos os lados dun cuadrilátero, entón eses segmentos forman un paralelogramo.
• Se un cuadrilátero está circunscrito entón a suma dos seus lados opostos son iguais. $AB+CD=BC+DA$.
• Para un cuadrilátero convexo cúmprese que $a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=d_{1}^{2}+d_{2}^{2}+4m^{2}$ onde $a,b,c,d$ son os lados; $d_{1},d_{2}$, as diagonais e m, a lonxitude do segmento que une os puntos medios das diagonais.
• Tamén se verifica: $d_{1}^{2}+d_{2}^{2}=m_{1}^{2}+m_{2}^{2}$ onde $d_{1},d_{2}$ son as diagonais e $m_{1},m_{2}$ son os segmentos, que unen os puntos medios de lados opostos, chamados simedianas.

Elementos dun cuadrilátero

Os elementos dun cuadrilátero son:

• 4 vértices: puntos de intersección dos lados que conforman o cuadrilátero.
• 4 lados: segmentos que unen os vértices contiguos.
• 2 diagonais: segmentos con extremos que son dous vértices non contiguos.
• 4 ángulos interiores: o determinado por dous lados contiguos.
• 4 ángulos exteriores: o determinado pola prolongación dun dos lados sobre un vértice e o contiguo no mesmo vértice.
• Un incentro, centro da circunferencia inscrita.

Clasificación dos cuadriláteros

• Cóncavo. Un dos seus ángulos é maior de 180 graos.
• Convexo. Todos os seus ángulos internos son menores de 180 graos.

Clasificación dos cuadriláteros convexos

• Paralelogramo: os lados son paralelos dous a dous. Polo tanto, os lados opostos teñen a mesma lonxitude, e os ángulos opostos teñen a mesma amplitude. Entre os paralelogramos distinguimos:
  • Cadrado ten catro lados iguais e catro ángulos iguais, que son rectos. Sendo equilateral e equiangular, é un cuadrilátero regular.
  • Rectángulo ten catro ángulos rectos.
  • Rombo cun par de lados consecutivos iguales. Como os lados opostos a estes tamén son os mesmos, o rombo ten catro lados iguais.
  • Romboide cando non ten ángulo recto, nin ten ningún par de lados iguais consecutivos.
• Trapecio: té exactamente un par de lados paralelos (os outros non o son, porque se non sería un paralelogramo). Existen os distintos tipos de trapecios:
  • Rectángulo, cando ten un lado perpendicular aos lados paralelos.
  • Isóscele, cando os lados non paralelos son iguais.
  • Escaleno, cando ningún dos lados é igual a ningún dos outros tres.
  • Rectángulo escaleno, é o trapecio escaleno con dous ángulos rectos
• Trapezoide: ningún par de lados paralelos. Entre os trapezoides atópanse:
  • Unirrectángulo, exactamente en ángulo recto.
  • Birrectángulo, con dous ángulos rectos nin máis nin menos.
  • Deltoides asumen a figura de dous triángulos isósceles (lados diferentes no vértice) cunha base común.
• Inscrito ou cíclico, cando os seus vértices están nunha circunferencia e os seus lados son cordas consecutivas.

Fórmulas

Os catro lados dun cuadrilátero: a, b, c, d ;
os catro vértices: A, B, C, D ;
as dúas diagonais: e, f.

• A suma dos ángulos internos é igual a 360°:

$\alpha +\beta +\gamma +\delta =360^{\circ }$

• Se as diagonais son perpendiculares, cúmprese a seguinte relación:

$\theta =90^{\circ }\Longleftrightarrow a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}$

• A área dun cuadrilátero pódese calcular mediante calquera destas fórmulas:

$A={\frac {ef\sin \theta }{2}}$ $A={\frac {ad\sin \alpha +bc\sin \gamma }{2}}={\frac {ab\sin \beta +cd\sin \delta }{2}}$ $A={\frac {1}{4}}\left(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\right)\tan \theta$ $A={\frac {1}{4}}{\sqrt {4e^{2}f^{2}-\left(b^{2}+d^{2}-a^{2}-c^{2}\right)^{2}}}$ $A={\frac {1}{2}}{\sqrt {|{\vec {e}}|^{2}|{\vec {f}}|^{2}-({\vec {e}}\cdot {\vec {f}})^{2}}}$

$A={\tfrac {1}{2}}ad\cdot \sin {\alpha }+{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4b^{2}c^{2}-(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2}+2ad\cdot \cos {\alpha })^{2}}}$ (para un cuadrilátero con concavidade en C cambiar o primeiro signo + por -).

Cuadriláteros inscritos

Son aqueles con vértices que están sobre unha circunferencia e os seus lados son cordas. Establécense as seguintes fórmulas, sendo

os seus lados a,b,c d; e as súas diagonais d₁, d₂

$d_{1}d_{2}=ac+bd$

${\frac {d_{1}}{d_{2}}}={\frac {ad+bc}{ab+cd}}$

$d_{1}={\sqrt {\frac {(ad+bc)(ac+bd)}{ab+cd}}}$

$d_{2}={\sqrt {\frac {(ab+cd)(ac+bd)}{ad+bc}}}$

Teorema de Arquímedes-Faure

Dado o cuadrilátero inscrito de lados a, b, c, d; de diagonais perpendiculares que ao intersecárense determinan os segmentos m, n nun deles e p, q no outro, R o raio da circunferencia circunscrita. En tal caso cúmprense as igualdades:

$a^{2}+c^{2}=b^{2}+d^{2}=4R^{2}$

(1) $m^{2}+n^{2}+p^{2}+q^{2}=4R^{2}$

Cuadrilátero circunscrito

Con lados tanxentes a unha circunferencia e os seus vértices son puntos comúns a cada dous lados tanxentes.

Véxase tamén

Outros artigos

• Cuadrilátero cíclico
• Cuadrilátero tanxencial