Polígono regular

polígono con lados e ángulos interiores iguais entre si
Un polígono regular de sete lados

En xeometría, denomínase polígono regular a un polígono con lados e ángulos interiores iguais entre si. Os polígonos regulares de tres e catro lados chámanse triángulo equilátero e cadrado, respectivamente. Para polígonos de máis lados, engádese o termo regular (pentágono regular, hexágono regular, octógono regular etc). Só algúns polígonos regulares poden ser construídos con regra e compás.[1]

Elementos dun polígono regularEditar

  • Lado, L: é cada un dos segmentos que forman o polígono.
  • Vértice, V: o punto de unión de dous lados consecutivos.
  • Centro, C: o punto central equidistante de todos os vértices.
  • Raio, r: o segmento que une o centro do polígono cun dos seus vértices.
  • Apotema, a: segmento perpendicular a un lado, ata o centro do polígono.
  • Diagonal, d: segmento que une dous vértices non contiguos.
  • Perímetro, P: é a suma da medida da súa contorna.
  • Semiperímetro, SP: é a semisuma do perímetro.
  • Saxita, S: parte do raio comprendida entre o punto medio do lado e o arco de circunferencia. A suma do apotema: a máis a saxita: S, é igual ao raio: r.

Propiedades dun polígono regularEditar

  • os polígonos regulares son equiláteros, posto que todos os seus lados son da mesma medida.
  • os polígonos regulares son equiangulares, posto que todos os seus ángulos interiores teñen a mesma medida.
  • os polígonos regulares pódense inscribir nunha circunferencia.

Ángulos dun polígono regularEditar

 
Ángulos dun polígono regular.
  • Todos os ángulos centrais dun polígono regular son congruentes e a súa medida α pode obterse a partir do número de lados n do polígono como segue:
  en graos sexaxesimais
  en radiáns
  en graos sexaxesimais
  en radiáns
  • A suma dos ángulos interiores,  , dun polígono regular é de:
  en graos sexaxesimais
  en radiáns
  • O ángulo exterior,  , dun polígono regular é de:
  en graos sexaxesimais
  en radiáns
  • A suma dos ángulos exteriores,  , dun polígono regular é:
  en graos sexaxesimais
  en radiáns

Galería de polígonos regularesEditar

Observación: A medida que aumenta o número de lados dun polígono regular, aseméllase máis a unha circunferencia.

Área dun polígono regularEditar

Existen diversas fórmulas para calcular a área dun polígono regular, dependendo dos elementos coñecidos.

En función do perímetro e o apotemaEditar

A área dun polígono regular, coñecendo o perímetro e o apotema é:

 
  • Partindo do triángulo que ten por base un lado L, do polígono e altura o seu apotema a, a área deste triángulo, é:
 
  • Un polígono de n lados, ten n destes triángulos, polo tanto a área do polígono será:
 
  • Sabendo que a lonxitude dun lado L, polo número n de lados, é o perímetro P, tense:
 

En función do número de lados e o apotemaEditar

Sabendo que:

 

Ademais  , xa que é a metade dun ángulo central (considerado en radiáns).

Observando a imaxe, é posible deducir que:

 

Substituíndo o lado:

 

Finalmente:

 

Con esta fórmula pódese determinar a área co número de lados e o apotema, sen necesidade de recorrer ao perímetro.

En función do número de lados e o raioEditar

Un polígono queda perfectamente definido polo seu número de lados n, e o raio r, polo tanto pódese determinar cal é a súa área; á vista da figura, tense que:

 
 

onde o ángulo central é:

 

sabendo que a área dun polígono é:

 

e substituíndo o valor do lado e o apotema calculados antes, tense:

 

ordenando:

 

sabendo que:

 

resulta:

 

ou o que é o mesmo:

 

Con esta expresión pódese calcular a área do polígono, coñecendo só o número de lados e o seu raio, o que resulta útil en moitos casos.

En función da lonxitude e o número de ladosEditar

Se se quere expresar a área en función do lado, pódese calculalo da seguinte maneira:

 

Sexa   o ángulo formado polo Lado "L" e o raio "r":

 

O valor do apotema en función do lado será, pola definición da tanxente:

 

Despexando o apotema tense:

 

Substituíndo o apotema polo seu valor:

 

Pódese ver no debuxo que   e a fórmula pode escribirse tamén como  .

Co que coñecendo o número de lados do polígono regular e a lonxitude do lado pódese calcular a súa superficie.

Diagonais dun polígono regularEditar

Número de diagonaisEditar

Para determinar o número de diagonais Nd, dun polígono de n vértices realízase o seguinte razoamento:

  • Dun vértice calquera partirán (n – 3) diagonais, onde n é o número de vértices, dado que non hai ningún diagonal que o unha consigo mesmo nin con ningún dos dous vértices contiguos.
  • Isto é válido para os n vértices do polígono.
  • Unha diagonal une dous vértices, polo que aplicando o razoamento anterior teríanse o dobre de diagonais das existentes.

Segundo o razoamento tense que:

 

Lonxitude da diagonal máis pequenaEditar

A diagonal máis pequena dun polígono regular é a que une dous vértices alternos. Para determinar a súa lonxitude, pártese do ángulo central e do raio, o raio que pasa polo vértice intermedio, corta a diagonal no punto A; este raio e a diagonal son perpendiculares en A.

O triángulo VAC é rectángulo en A, polo tanto:

 

que resulta:

 

de onde se deduce que:

 

Sabendo o valor do ángulo central:

 

A diagonal máis pequena dun polígono regular, só depende do raio e do número de lados, sendo maior canto maior sexa o raio e diminuíndo de lonxitude cando aumenta o número de lados do polígono.

Lonxitude das diagonaisEditar

En xeral a lonxitude das diagonais dun polígono regular vén dada pola relación de recorrencia

 
 
 
 
 
 
 
 

NotasEditar

  1. RegularPolygon en MathWorld

Véxase taménEditar

BibliografíaEditar

Ligazóns externasEditar