Hexágono

En xeometría, un hexágono (do grego ἕξ hex, "seis" e γωνία, gonía, "ángulos") é un polígono de seis lados.

Hexágono regular.

Propiedades

Todo hexágono ten:

• 6 vértices e lados.
• 9 diagonais.
• Un conxunto de ángulos internos que suman 720 graos ou 4$\pi$ radiáns.

Parhexágono

De forma análoga a un paralelogramo, un parhexágono é aquel hexágono particular, no que un lado é igual e paralelo a un lado opuesto, pero cada par de lados pode ser de diferente tamaño.

Proposición

Sexa ABCDEF un hexágono irregular calquera, únense A con C; B con D; C con E; D con F; E con A; F con B. Fórmanse os seis triángulos ABC, BCD, CDE, DEF, EFA, FAB. En cada un destes localízase o seu baricentro; que se denotan como A', B', C', D', E', F'. Únense sucesivamente eses puntos e obtemos o hexágono A'B'C'D'E'F' que é un parhexágono.

Hexágono regular

R = Circunraio; r = Inraio; t = lonxitude do lado.
O raio r da circunferencia inscrita coincide coa apotema.

O hexágono regular é un hexágono convexo onde os seis lados e ángulos son iguais.

O hexágono regular cumpre as seguintes propiedades:

• Tódolos seus ángulos interiores miden 120º ou ${\frac {2\pi }{3}}$ radiáns.

• Está ligado aos triángulos equiláteros:
  • Unindo cada vértice co seu oposto, o hexágono regular queda dividido en seis triángulos equiláteros.
  • Unindo tres vértices que non compartan aresta formamos un triángulo equilátero.
• A súa superficie obtense da seguinte forma:
  • Superficie = (Perímetro * Apotema) / 2.

Sendo a apotema o segmento que une perpendicularmente o centro cun lado. A apotema (chamada $a_{p}$ neste artigo) coincide co inraio r que é o raio da circunferencia inscrita.

• Son (despois dos cadrados e dos triángulos equiláteros) os poligonos congruentes (iguais) con menos lados que poden ser utilizados para realizar unha teselación regular ou teselación platónica.
• Situando un hexágono regular no centro do plano complexo atoparemos as raíces sextas complexas de 1 (é dicir, os números complexos que resolven $z^{6}-1=0$) nos vértices do polígono.
• Podemos inscribir ou circunscribir un hexágono regular nunha circunferencia. Se chamamos $r$ ao raio da circunferencia inscrita, $R$ ao raio da circunferencia circunscrita e $a$ á lonxitude dun lado vemos as seguintes igualdades
  • $r=\cos(30^{\circ })R$, é dicir, $r={\frac {\sqrt {3}}{2}}R$.
  • $a=R$, e por tanto, $a={\frac {2r}{\sqrt {3}}}$.

R é igual ao lado porque o hexágono regular pode dividirse en 6 triángulos equilateros desde o centro.

• As perpendiculares trazadas polos puntos medios dos lados e as bisectrices dos ángulos internos son eixes de simetría do hexágono regular.

Perímetro

O perímetro do hexágono regular pode calcularse en función de distintos datos:

• En función do lado do hexágono ($l_{6}$):

$P=6\ l_{6}$.

• En función da apotema ($a_{p}$):

$P=4\cdot a_{p}\cdot {\sqrt {3}}$.

• En función do raio da circunferencia circunscrita ($R$):

$P=6\cdot R$.

Área

A fórmula xeral para calcular a área é a seguinte:

$A={\frac {P\cdot a_{p}}{2}}={\frac {6l_{6}\cdot a_{p}}{2}}=3l_{6}\cdot a_{p}$.

En caso de coñecer soamente a apotema podemos utilizar:

$A=2{\sqrt {3}}\cdot a_{p}^{2}$.

E en caso de coñecer unicamente o lado utilizaremos:

$A=l_{6}^{2}{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}$.

Construción

Nesta imaxe animada pódese ver como se constrúe un hexágono regular dun determinado lado empregando unha regra e un compás.

Paso a paso no debuxo dun hexágono regular empregando compás e regra.

Os pasos son os seguintes:

1. Dado un punto O calquera, trazar unha circunferencia cuxo raio sexa igual ao lado do hexágono a construír.
2. Elixir un punto A sobre a circunferencia e trazar un diámetro que corte O e A. Marcar o outro punto onde este diámetro interseca a circunferencia como D.
3. Apoiando o compás no punto A, trazar un arco que corte O, cortando á circunferencia en dous puntos, marcados como B e F.
4. Apoiando o compás no punto D, trazar un arco que corte O, cortando á circunferencia en dous puntos, marcados como C e E.

Punto no plano

Para un punto arbitrario no plano dun hexágono regular con circunraio $R$, cuxas distancias ao baricentro do hexágono regular e aos seus seis vértices son $L$ e $d_{i}$ respectivamente, temos

$d_{1}^{2}+d_{4}^{2}=d_{2}^{2}+d_{5}^{2}=d_{3}^{2}+d_{6}^{2}=2\left(R^{2}+L^{2}\right),$

$d_{1}^{2}+d_{3}^{2}+d_{5}^{2}=d_{2}^{2}+d_{4}^{2}+d_{6}^{2}=3\left(R^{2}+L^{2}\right),$

$d_{1}^{4}+d_{3}^{4}+d_{5}^{4}=d_{2}^{4}+d_{4}^{4}+d_{6}^{4}=3\left(\left(R^{2}+L^{2}\right)^{2}+2R^{2}L^{2}\right).$

Se $d_{i}$ son as distancias dende os vértices dun hexágono regular a calquera punto da súa circunferencia, entón

$\left(\sum _{i=1}^{6}d_{i}^{2}\right)^{2}=4\sum _{i=1}^{6}d_{i}^{4}.$

Simetría

O hexágono regular ten simetría D₆. Hai 16 subgrupos. Hai 8 ata isomorfismo: el mesmo (D₆), 2 diédricos: (D_3, D₂), 4 cíclicos: (Z₆, Z₃, Z₂, Z₁) e o trivial (e).

Estas simetrías expresan nove simetrías distintas dun hexágono regular. John Conway as etiqueta cunha letra e unha orde de grupo. r12 é simetría completa, e a1 non é simetría. p6,un hexágono isogonal construído por tres espellos pode alternar arestas longas e curtas, e d6, un hexágono isotoxal construído con lonxitudes de aresta iguais, pero vértices que alternan dous ángulos internos diferentes. Estas dúas formas son duais entre elas e teñen a metade de orde de simetría do hexágono regular. As formas i4 son hexágonos regulares aplanados ou estirados ao longo dunha dirección de simetría. Pode verse como un rombo elongado, mentres que d2 e p2 poden verse como deltoides alongadas horizontal e verticalmente. Os hexágonos g2, con lados opostos paralelos, tamén se denominan paralelógonos hexagonais.

Cada simetría de subgrupo permite un ou máis graos de liberdade para formas irregulares. Só o subgrupo g6 non ten graos de liberdade pero pode verse como un grafo orientado.

Os hexágonos de simetría g2, i4, e r12, como paralelógonos poden teselar o plano euclidiano por translación. Outros hexágonos poden teselar o plano con diferentes orientacións.

p6m (*632)	cmm (2*22)	p2 (2222)	p31m (3*3)	pmg (22*)		pg (××)
r12	i4	g2	d2	d2	p2	a1
Dih6	Dih2	Z2	Dih1			Z1

Grupos A2 e G2

A2 group roots

G2 group roots

As 6 raíces do grupo de Lie simple A2, representadas por un diagrama de Dynkin , están nun modelo hexagonal regular. As dúas raíces simples teñen un ángulo de 120° entre elas.

As 12 raíces do Grupo de Lie excepcional G2, representadas por un Diagrama de Dynkin tamén teñen forma hexagonal. As dúas raíces simples de dúas lonxitudes teñen un ángulo de 150° entre elas.

Disección

6-cube projection	disección de 12 rombos

Coxeter afirma que todo zonágono (un polígono de 2m lados no cal os opostos son paralelos e de igual lonxitude) pode diseccionarse en ¹⁄₂m(m - 1) paralelogramos. En particular, isto é certo para polígonos regulares con un número par de lados, en cuxo caso os paralelogramos son todos rombos. Esta descomposición dun hexágono regular basease nunha proxección dun polígono de Petrie dun cubo, con 3 de 6 caras cadradas. Outros paralelogramos e direccións proxectivas do cubo disecciónanse dentro de cuboides rectangulares.

Disección de hexágonos en tres rombos e paralelogramos
2D	Rombos	Paralelogramos
	Regular {6}	Paralelógonos hexagonais
3D	Caras cadradas		Caras rectangulares
	Cubo		Cuboide rectangular

Galería de hexágonos naturais e artificiais

• 
  Francia continental ou a parte metropolitana de Francia recibe o sobrenome de Hexágono (l'Hexagone en francés), por ter unha forma vagamente hexagonal.
• 
  Os escudos da cuncha dunha tartaruga están conformados por hexágonos.
• 
  No polo norte de Saturno atópase un modelo de nubes formando un hexágono.
• 
  O xadrez hexagonal de Władysław Gliński.
• 
  Os pavillóns de estilo chino nos xardíns botánicos teñen unha estrutura hexagonal.
• 
  Fiestra hexagonal dunha casa.
• 
  O hexágono é un teatro de arquitectura de tipo hexagonal localizada en Reading, Reino Unido.
• 
  Unha palleira hexagonal.
• 
  Vista aérea do Parque nacional de Tartarugas Secas (Parque Nacional de Dry Tortugas).
• 
  A hanksita, un dos moitos minerais do sistema cristalino hexagonal
• 
  Os favos están construídos con formas hexagonais.
• 
  Columnas de basalto formadas naturalmente na Calzada do Xigante en Irlanda do Norte; que forman un modelo de fractura poligonal.
• 
  A micrografía dunha folerpa de neve.
• 
  A estrutura cristalina do grafeno está formada por hexágonos.
• 
  Estrutura cristalina de un hexágono molecular composto por aneis aromáticos hexagonais.
• 
  Segmentos do espello E-ELT ensamblados.

Véxase tamén

Outros artigos

• Triángulo.
• Número hexagonal.

Ligazóns externas

• Definición e propiedades dun hexágono con animación interactiva e construción con compás e regra.
• An Introduction to Hexagonal Geometry en Hexnet un sitio web dedicado ás matemáticas de hexágonos.