Matriz identidade

En álxebra linear, a matriz identidade de tamaño $n$ é a matriz cadrada $n\times n$ con todo uns na diagonal principal e ceros no resto de posicións. Ten propiedades únicas, por exemplo, cando a matriz de identidade representa unha transformación xeométrica, o obxecto permanece inalterado pola transformación. Noutros contextos, é análogo a multiplicar polo número 1.

Terminoloxía e notación

A matriz identidade adoita denotarse por $I_{n}$, ou simplemente por $I$ se o tamaño non é importante ou pode determinarse polo contexto.

$$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \dots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.$$

Nalgúns campos, como a teoría de grupos ou a mecánica cuántica, a matriz de identidade denótase ás veces por un número 1 en letra grosa, $\mathbf {1}$, ou chámase "id" (abreviatura de identidade). Con menos frecuencia, algúns libros de matemáticas usan $U$ ou $E$ para representar a matriz de identidade, que significa "matriz unitaria" e a palabra alemá Einheitsmatrix respectivamente.

Outra nomenclatura pode ser

$$I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1).$$

Ou coa notación do delta de Kronecker :

$$(I_{n})_{ij}=\delta _{ij}.$$

Propiedades

Cando $A$ é unha matriz de tamaño $m\times n$ , temos que a multiplicación matricial pola matriz identidade sería

$$I_{m}A=AI_{n}=A.$$

En particular, a matriz de identidade serve como a identidade multiplicativa do anel matricial de todas as matrices $n\times n$, e como elemento de identidade do grupo lineal xeral $GL(n)$, que consta de toda matriz invertible $n\times n$ baixo a operación de multiplicación matricial. Neste grupo, dúas matrices cadradas teñen a matriz identidade como produto exactamente cando son inversas entre sí.

O determinante da matriz identidade é 1, e a súa traza é $n$.

A matriz identidade é a única matriz idempotente con determinante distinto de cero. É dicir, é a única matriz tal que:

1. Cando se multiplica por sí mesma, o resultado é ela mesmo.
2. Todas as súas filas e columnas son linearmente independentes.

A raíz cadrada principal dunha matriz de identidade é ela mesma, e esta é a súa única raíz cadrada definida positivamente. No entanto, cada matriz de identidade con polo menos dúas filas e columnas ten unha infinidade de raíces cadradas simétricas.

O rango dunha matriz de identidade $I_{n}$ é igual ao tamaño $n$, é dicir:

$$\operatorname {rank} (I_{n})=n.$$

Véxase tamén

Outros artigos

• Matriz binaria (matriz cero-un)
• Matriz elemental
• Matriz de uns
• Matriz de Pauli (a matriz de identidade é a matriz de Pauli cero)
• Matriz cero