Matriz cadrada

En matemáticas, unha matriz cadrada é unha matriz co mesmo número de filas e columnas. Chamamos matriz n-por-n a unha matriz cadrada de orde $n$. Pódense sumar e multiplicar dúas matrices cadradas calquera da mesma orde.

Unha matriz cadrada de orde 4. As entradas $a_{ii}$ forma a diagonal principal dunha matriz cadrada. Por exemplo, a diagonal principal da matriz 4×4 anterior contén os elementos a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10 .

As matrices cadradas utilízanse a miúdo para representar transformacións lineares simples, como a rotación. Por exemplo, se $R$ é unha matriz cadrada que representa unha rotación (matriz de rotación) e $\mathbf {v}$ é un vector columna que describe a posición dun punto no espazo, o produto $R\mathbf {v}$ produce outro vector columna que describe a posición dese punto despois desa rotación. Se $\mathbf {v}$ é un vector fila, a mesma transformación pódese obter usando $\mathbf {v} R^{\mathsf {T}}$, onde $R^{\mathsf {T}}$ é a transposta de $R$.

Diagonal principal

As entradas $a_{ii}$ ( i = 1, ..., n ) forman a diagonal principal dunha matriz cadrada. Por exemplo, a diagonal principal da matriz 4×4 da imaxe contén os elementos a₁₁ = 9, a₂₂ = 11, a₃₃ = 4, a₄₄ = 10.

A diagonal dunha matriz cadrada desde a esquina superior dereita ata a esquina inferior esquerda chámase antidiagonal ou contradiagonal.

Tipos especiais

Matriz diagonal, triangular e identidade

Nome	Exemplo con n = 3
Matriz diagonal	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\0&a_{22}&0\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$
Matriz triangular inferior	${\begin{bmatrix}a_{11}&0&0\\a_{21}&a_{22}&0\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}}$
Matriz triangular superior	${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\0&a_{22}&a_{23}\\0&0&a_{33}\end{bmatrix}}$
Matriz identidade	${\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}$

O termo matriz identidade refírese á propiedade da multiplicación matricial que

$$I_{m}A=AI_{n}=A$$

para calquera matriz $A$ de dimensións $m\times n$.

Matriz invertible e a súa inversa

Unha matriz cadrada $A$ chámase invertible ou non singular se. existe unha matriz $B$ tal que

$$AB=BA=I_{n}$$

Se $B$ existe, é única e chámase matriz inversa de $A$, denotado $A^{-1}$.

Matriz simétrica ou antisimétrica

Unha matriz cadrada $A$ que é igual á súa transposición, é dicir, $A^{\mathsf {T}}=A$, é unha matriz simétrica. Se en cambio $A^{\mathsf {T}}=-A$, entón $A$ chámase matriz antisimétrica.

Para unha matriz cadrada complexa $A$, moitas veces o análogo axeitado da transposición é a transposta conxugada $A^{*}$, definido como a transposición do conxugado complexo de $A$. Unha matriz cadrada complexa $A$ que satisfai $A^{*}=A$ chámase matriz hermitiana. Se temos $A^{*}=-A$, entón $A$ chámase matriz antisimétrica hermitiana.

Segundo o teorema espectral, as matrices reais simétricas (ou complexas hermitianas) teñen unha base propia ortogonal (ou unitaria); é dicir, cada vector é expresable como unha combinación linear de vectores propios (eigenvectores). En ambos os casos, todos os valores propios (eigenvalores) son reais.

Matriz ortogonal

Unha matriz ortogonal é unha matriz cadrada onde a súa transposta é igual á súa inversa:

$$A^{\textsf {T}}=A^{-1},$$

que implica

$$A^{\textsf {T}}A=AA^{\textsf {T}}=I,$$

onde I é a matriz identidade.

Unha matriz ortogonal A é necesariamente invertible (con inverso A⁻¹ = A^T), unitaria (A⁻¹ = A*) e normal (A*A = AA*). O determinante de calquera matriz ortogonal é +1 ou -1. O grupo ortogonal especial $\operatorname {SO} (n)$ consta das matrices n × n ortogonais co determinante +1.

O análogo complexo dunha matriz ortogonal é unha matriz unitaria.

Matriz normal

Unha matriz cadrada real ou complexa $A$ chámase normal se $A^{*}A=AA^{*}$. Se unha matriz cadrada real é simétrica, antisimétrica ou ortogonal, entón é normal. Se unha matriz cadrada complexa é hermitiana, hermitiana antisimétrica ou unitaria, entón é normal.

Operacións

Traza

A traza, tr( A ) dunha matriz cadrada A é a suma das súas entradas diagonais. Aínda que a multiplicación de matrices non é conmutativa, a traza do produto de dúas matrices si é conmutativa:

$$\operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA).$$

Ademais, a traza dunha matriz é igual ao da súa transposición, é dicir,

$$\operatorname {tr} (A)=\operatorname {tr} (A^{\mathrm {T} }).$$

Determinante

Unha transformación linear $\mathbb {R} ^{2}$ dada pola matriz que se mostra. O determinante desta matriz é −1, o mapa inverte a orientación.

O determinante $|A|$ ou $\det(A)$ dunha matriz cadrada $A$ é un número que contén certas propiedades da matriz. Unha matriz é invertible se e só se o seu determinante é distinto de cero. O seu valor absoluto é igual á área (en $\mathbb {R} ^{2}$) ou volume (en $\mathbb {R} ^{3}$) da imaxe do cadrado (ou cubo) da unidade, mentres que o seu signo corresponde á orientación do mapa linear correspondente: o determinante é positivo se e só se se conserva a orientación.

O determinante das matrices 2×2 vén dado por

$$\det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.$$

O determinante das matrices 3×3 implica 6 termos (regra de Sarrus). A fórmula de Leibniz xeneraliza estas dúas fórmulas a todas as dimensións.

O determinante dun produto de matrices cadradas é igual ao produto dos seus determinantes, temos:

$$\det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)$$

Finalmente, a expansión de Laplace expresa o determinante en termos de menores, é dicir, determinantes de matrices máis pequenas. Os determinantes pódense usar para resolver sistemas lineares usando a regra de Cramer, onde a división dos determinantes de dúas matrices cadradas relacionadas equivale ao valor de cada unha das variables do sistema.

Eigenvalores e eigenvectores

Artigo principal: Valor propio, vector propio e espazo propio.

Un número λ e un vector distinto de cero $\mathbf {v}$ que satisfai

$$A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v}$$

chámanse eigenvalores e eigenvectores de $A$, respectivamente. O número λ é un eigenvalor dunha matriz n×n A se e só se A − λI_n non é invertible, o que é equivalente a

$$\det(A-\lambda I)=0.$$

Véxase tamén

Bibliografía

• Brown, William C. (1991). Matrices and vector spaces. New York, NY: Marcel Dekker. ISBN 978-0-8247-8419-5. 
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1985). Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38632-6. 
• Mirsky, Leonid (1990). An Introduction to Linear Algebra. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-66434-7. 

Outros artigos

• Matriz (matemáticas)