Abrir o menú principal

En matemática, particularmente en álxebra linear, unha combinación linear é unha expresión matemática que consiste na suma entre pares de elementos de determinados conxuntos multiplicados entre si.

En particular, a combinación linear dun sistema de vectores trátase dun vector da forma

cos elementos dun corpo. A definición dá lugar a outras definicións e ferramentas importantes, como son os conceptos de independencia linear e base dun espazo vectorial.

Índice

DefiniciónEditar

Dados dous conxuntos calquera A e B, defínese como combinación linear toda expresión da forma

 

Resulta de especial interese a definición de combinación linear de vectores con respecto a un conxunto de escalares.

Espazos vectoriaisEditar

Dado un espazo vectorial V sobre un corpo   e un conxunto   de vectores en V, é dicir,  , dise que un vector   é combinación linear de A se  .

En termos informais, dise que   é combinación linear de vectores de   se se poden expresar como unha suma de produtos por escalar dunha cantidade finita de elementos de  . Neste caso, tamén se di que   depende linearmente dos vectores de  .[1]

ExemplosEditar

 
Combinación linear de dous vectores no espazo.
  1. A terna ordenada (20, 12, 37) é unha combinación linear de (1, 3, 5) e (6, 2, 9):

 

  1. En xeral, dado un vector v nun espazo vectorial, todo múltiplo seu   é combinación linear. Para o caso particular  , os seus múltiplos son vectores no plano coa mesma dirección, é dicir, paralelos.
  2. Dado  , dicir que v é combinación linear doutros dous vectores   non paralelos equivale a afirmar que o tres vectores son coplanarios, é dicir, que se atopan nun mesmo plano.
  3. Na ecuación   dise que   é combinación linear de   e de   porque se pode escribir   sen máis que despexar  . Do mesmo xeito, despexando oportunamente cada unha destas variables poderíase expresar como combinación linear das outras dúas.

Espazo xeradoEditar

Dado un conxunto de vectores A do espazo vectorial V, finito ou infinito, chámase espazo xerado, denotado como  , ao conxunto:[2]


 

onde   é o corpo sobre o cal está definido V. En termos informais, o espazo xerado a partir de A é o conxunto de todas as combinacións lineares que poden formarse cos vectores de A.

NotasEditar

  1. De Burgos, Juan (2006). Álgebra lineal y geometría cartesiana (3.ª ed.). McGraw-Hill. p. 26. ISBN 9788448149000. 
  2. Poole, David (2011). Álgebra lineal (en castelán) (3.ª ed.). Cengage Learning. p. 96. ISBN 9786074816082. 

Véxase taménEditar