Combinación linear

En matemática, particularmente en álxebra linear, unha combinación linear é unha expresión matemática que consiste na suma entre pares de elementos de determinados conxuntos multiplicados entre si.

En particular, a combinación linear dun sistema de vectores trátase dun vector da forma

$v=k_{1}v_{1}+k_{2}v_{2}+...+k_{n}v_{n}=\sum _{i=1}^{n}k_{i}v_{i}$

cos $k_{i}$ elementos dun corpo. A definición dá lugar a outras definicións e ferramentas importantes, como son os conceptos de independencia linear e base dun espazo vectorial.

Definición

Dados dous conxuntos calquera A e B, defínese como combinación linear toda expresión da forma

$\sum _{\begin{smallmatrix}\alpha \in A\\b\in B\end{smallmatrix}}\alpha b.$

Resulta de especial interese a definición de combinación linear de vectores con respecto a un conxunto de escalares.

Espazos vectoriais

Dado un espazo vectorial V sobre un corpo $\mathbb {K}$ e un conxunto $\ A=\{v_{1},v_{2},v_{3},...,v_{n}\}$ de vectores en V, é dicir, $A\subset V$, dise que un vector $v\in V$ é combinación linear de A se $\exists k_{1},\dots ,k_{n}\in \mathbb {K} :v=\sum _{i=1}^{n}k_{i}v_{i}$.

En termos informais, dise que $v$ é combinación linear de vectores de $A$ se se poden expresar como unha suma de produtos por escalar dunha cantidade finita de elementos de $A$. Neste caso, tamén se di que $v$ depende linearmente dos vectores de $A$.

Exemplos

Combinación linear de dous vectores no espazo.

1. A terna ordenada (20, 12, 37) é unha combinación linear de (1, 3, 5) e (6, 2, 9):

${\begin{pmatrix}20\\12\\37\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}}+3{\begin{pmatrix}6\\2\\9\end{pmatrix}}.$

1. En xeral, dado un vector v nun espazo vectorial, todo múltiplo seu $\lambda v$ é combinación linear. Para o caso particular $v\in \mathbb {R} ^{2}$, os seus múltiplos son vectores no plano coa mesma dirección, é dicir, paralelos.
2. Dado $v\in \mathbb {R} ^{3}$, dicir que v é combinación linear doutros dous vectores $v_{1},v_{2}$ non paralelos equivale a afirmar que o tres vectores son coplanarios, é dicir, que se atopan nun mesmo plano.
3. Na ecuación $2x+3y-2z=0$ dise que $z$ é combinación linear de $x$ e de $y$ porque se pode escribir $z=x+{\frac {3}{2}}y$ sen máis que despexar $z$. Do mesmo xeito, despexando oportunamente cada unha destas variables poderíase expresar como combinación linear das outras dúas.

Espazo xerado

Dado un conxunto de vectores A do espazo vectorial V, finito ou infinito, chámase espazo xerado, denotado como ${\mbox{gen}}(A)$, ao conxunto:

${\mbox{gen}}(A)=\left\{v\in V|\exists a_{1},\dots a_{n}\in \mathbb {K} ,\exists v_{1},\dots v_{n}\in A:v=\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}\right\}$

onde $\mathbb {K}$ é o corpo sobre o cal está definido V. En termos informais, o espazo xerado a partir de A é o conxunto de todas as combinacións lineares que poden formarse cos vectores de A.

Véxase tamén

Outros artigos

• Independencia linear
• Base (álxebra)
• Sistema de coordenadas cartesianas
• Produto escalar
• Produto vectorial
• Produto mixto
• Produto tensorial

Ligazóns externas

• Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.