Produto tensorial

Nas matemáticas, o produto tensorial, denotado por $\otimes$, pódese aplicar en diversos contextos de vectores, matrices, tensores e espazos vectoriais. En cada caso a significación do símbolo é a mesma: a operación bilinear máis xeral.

Un caso representativo é o produto de Kronecker de dúas matrices calquera. Exemplo:

${\begin{bmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}&b_{4}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{1}b_{1}&a_{1}b_{2}&a_{1}b_{3}&a_{1}b_{4}\\a_{2}b_{1}&a_{2}b_{2}&a_{2}b_{3}&a_{2}b_{4}\\a_{3}b_{1}&a_{3}b_{2}&a_{3}b_{3}&a_{3}b_{4}\end{bmatrix}}$

rango resultante = 2, dimensión resultante = 3x4.

Aquí o rango denota o número de índices indispensables, mentres que a dimensión conta o número de graos de liberdade na matriz que resulta.

Definición formal

Produto tensorial de grupos abelianos

Sexan $M$ e $N$ dous grupos abelianos. Consideramos o grupo abeliano libre $\mathbb {Z} ^{(M\times N)}$ de $M$ e $N$. Este grupo abeliano é o formado por aplicacións

$f_{(m,n)}:M\times N\longrightarrow \mathbb {Z}$

de forma que eventualmente $f_{(m,n)}=0$ (p.e., para cada $(m,n)\in M\times N:f_{(m,n)}(a,b)=0$ excepto para unha cantidade finita de elementos $(a,b)\in M\times N$). Como todo grupo abeliano, podemos consideralo como $\mathbb {Z}$-módulo. Baixo esta óptica, o grupo abeliano libre $\mathbb {Z} ^{(M\times N)}$ pode expresarse como o conxunto das combinacións $\mathbb {Z}$-lineares dos elementos:

$\{e_{(m,n)}:M\times N\longrightarrow \mathbb {Z} :(m,n)\in M\times N,e_{(m,n)}(a,b)=\delta _{(m,n)}(a,b)\}$

onde $\delta _{(m,n)}$ é a delta de Kronecker do elemento $(m,n)\in M\times N$, que é unha función $M\times N\longrightarrow \{0,1\}$ de forma que $\delta _{(m,n)}(a,b)=1$ se e só se $m=a$ e $n=b$, e 0 en calquera outro caso.

Tomando agora o conxunto dos $f_{(m,n)}\in \mathbb {Z} ^{(M\times N)}$ de forma que, calquera que sexan $m\in M$ e $n\in N$ é

$f_{(m,n)}=e_{(m_{1}+m_{2},n)}-e_{(m_{1},n)}-e_{(m_{2},n)}$

para algúns $m_{1},m_{2}\in M$ ou ben

$f_{(m,n)}=e_{(m,n_{1}+n_{2})}-e_{(m,n_{1})}-e_{(m,n_{2})}$

para algúns $n_{1},n_{2}\in N$. Denominamos $K$ o subgrupo xerado por este conxunto. É un subgrupo normal (xa que é un subgrupo dun grupo abeliano) de $\mathbb {Z} ^{(M\times N)}$.

O produto tensorial de $M$ e $N$ é o grupo cociente ${\frac {\mathbb {Z} ^{(M\times N)}}{K}}$. Denótase por $M\otimes N$. A clase de equivalencia do elemento $e_{(m,n)}$ denótase $m\otimes n$.

Produto tensorial de módulos

Sexan $R$ un anel unitario, $M$ un $R$-módulo a dereitas e N un R-módulo a esquerdas. Consideramos o módulo libre $R^{(M\times N)}$ de $M$ e $N$. Tomando agora o conxunto dos $f_{(m,n)}\in R^{(M\times N)}$ de forma que, calquera que sexan $m\in M$ e todo $n\in N$ é

$f_{(m,n)}=e_{(m_{1}+m_{2},n)}-e_{(m_{1},n)}-e_{(m_{2},n)}$

para algúns $m_{1},m_{2}\in M$, ou ben $f_{(m,n)}=e_{(m,n_{1}+n_{2})}-e_{(m,n_{1})}-e_{(m,n_{2})}$ para algúns $n_{1},n_{2}\in N$, ou ben

$f_{(m,n)}=e_{(m_{1}\cdot r,n_{1})}-e_{(m_{1},r\cdot n_{1})}$

para algúns $r\in R,m_{1}\in M$ e $n_{1}\in N$. Denominamos $K$ o submódulo xerado por este conxunto.

O produto tensorial de $M$ e $N$ é o grupo cociente ${\frac {R^{(M\times N)}}{K}}$. Denótase por $M\otimes _{R}N$. A clase de equivalencia do elemento $e_{(m,n)}$ denótase $m\otimes n$.

Produto tensorial de dous tensores

Véxase tamén: Cálculo tensorial.

Hai unha fórmula particular para o produto de dous (ou máis) tensores

$(V\otimes U)_{i_{1},i_{2},...,i_{n},j_{1},j_{2},...,j_{m}}=V_{i_{1},i_{2},...i_{n}}U_{j_{1},j_{2},...,j_{m}}$,

onde se esta asumindo, para simplificar, tensores ortogonais, sen distinción entre índices covariantes e contravariantes.

Os parámetros introducidos arriba traballan así:

${\rm {rank}}(U\otimes V)={\rm {rank}}(U)+{\rm {rank}}(V)$

${\rm {dim}}(U\otimes V)={\rm {dim}}(U)\cdot {\rm {dim}}(V)$

Produto tensorial de funcións multilineares

Dadas as funcións multilineares f(x₁... x_k) e g(x₁... x_m) o seu produto tensorial é a función multilinear $(f\otimes g)(x_{1},...x_{k+m})=f(x_{1},...x_{k})g(x_{k+1},...x_{k+m})$

Produto tensorial de espazos vectoriais

O produto $V\otimes W$ de dous espazos vectoriais V e W teñen unha definición formal polo método de xeradores e relacións. A clase de equivalencia de (v, w) chámase un tensor e é denotada por $v\otimes w$. Por construción, pódese probar só tantas identidades entre os tensores, e as sumas de tensores, como se seguen das relacións usadas.

Tómese o espazo vectorial xerado por W x V e aplíquense (factorizar os subespazos xerados) as relacións multilineares detalladas abaixo. Con esta notación as relacións toman a forma:

• $(v_{1}+v_{2})\otimes w=v_{1}\otimes w$$+v_{2}\otimes w$
• $v\otimes (w_{1}+w_{2})=v\otimes w_{1}+v\otimes w_{2}$
• $cv\otimes w=v\otimes cw=c(v\otimes w)$
• cada elemento do produto tensorial é unha suma finita de tensores: requírese máis dun tensor xeralmente para facer iso. Móstrase simplemente como construír unha base dos $V\otimes W$.

Dadas bases para V e W, o conxunto de produtos tensoriais dos vectores de base, un de V e un de W, fórmase unha base para $V\otimes W$.

A dimensión do produto tensorial polo tanto é o produto de dimensións.

Propiedade universal do produto tensorial

Sexan $G$ un grupo abeliano, $R$ un anel unitario, $M$ un $R$-módulo a dereitas, $N$ un $R$-módulo a esquerdas e $f:M\times N\longrightarrow G$ unha aplicación $R$-equilibrada (se $M$ e $N$ os consideramos só como grupos abelianos, entón $R=\mathbb {Z}$; se fosen $M$ e $N$ espazos vectoriais, entón $R$ sería un corpo, se $M$ e $N$ fosen espazos vectoriais reais, sería $R=\mathbb {R}$). Existe un único homomorfismo de grupos $\varphi \in \hom(M\otimes _{R}N,G)$ de maneira que $\varphi (m\otimes n)=f(m,n)$, calquera que sexan $m\in M$ e $n\in N$.

Particularización a espazos vectoriais reais

O espazo de todos as funcións bilineares desde V x W a R é naturalmente isomorfo ao espazo de todas as funcións lineares de $V\otimes W$ a R. Isto é por construción: $V\otimes W$ teñen só as relacións que son necesarias para asegurarse de que un homomorfismo dos $V\otimes W$ a R será bilinear.

Produto tensorial de espazos de Hilbert

O produto tensorial de dous espazos de Hilbert é outro espazo de Hilbert, que se define segundo o descrito abaixo.

Definición

Sexan H₁ e H₂ dous espazos de Hilbert cos produtos internos < ·, ·>₁ e < ·, ·>₂, respectivamente. Constrúese o produto tensorial de H₁ e H₂ como espazos vectoriais segundo o explicado arriba. Podemos converter este produto tensorial de espazos vectoriais nun con produto escalar definindo:

$\langle \phi _{1}\otimes \phi _{2},\psi _{1}\otimes \psi _{2}\rangle =\langle \phi _{1},\psi _{1}\rangle _{1}\,\langle \phi _{2},\psi _{2}\rangle _{2}\quad \forall \phi _{1},\psi _{1}\in H_{1}{\mbox{ y }}\phi _{2},\psi _{2}\in H_{2}$

e estendendo por linearidade. Finalmente, tomamos completación deste produto interno. O resultado é o produto tensorial de H₁ e H₂ como espazos de Hilbert.

Propiedades

Se H₁ e H₂ teñen bases ortonormais {φ_k} e {ψ_l}, respectivamente, entón {φ_k⊗ψ_l} son unha base ortonormal para H₁⊗H₂.

Exemplos e aplicacións

Os exemplos seguintes mostran que os produtos tensoriais se presentan naturalmente.

Dados dous espazos de medida X e Y, con μ e ν as medidas respectivamente, un pode considerar L²(X × Y), o espazo das funcións en X × Y que son cadrado-integrables con respecto á medida produto μ × ν. Se f é unha función cadrado-integrable en X, e g é unha función cadrado-integrable en Y, entón podemos definir unha función h en X × Y por h(x, y) = f(x) g(y). A definición da medida produto asegúranos que todas as funcións desta forma son cadrado-integrables, así que esta define unha función bilinear de L²(X) × L²(Y) → L²(X × Y). As combinacións lineares das funcións da forma f(x) g(y) están tamén en L²(X × Y). Resulta que o conxunto de combinacións lineares é de feito denso en L²(X × Y), se L²(X) e L²(Y) son separables. Isto demostra que L²(X) ⊗ L²(Y) é isomorfo a L²(X × Y), e tamén explica porque necesitamos tomar a completación na construción do produto tensorial do espazo de Hilbert.

Semellantemente, podemos demostrar que L²(X; H), denotando o espazo das funcións cadrado-integrables de X → H, é isomorfo ao L²(X) ⊗ H se este espazo é separable. O isomorfismo manda f(x) ⊗ψ ∈ L²(X)⊗ H a f(x)ψ ∈ L²(X; H). Podemos combinar isto co exemplo anterior e concluír que L²(X) ⊗ L²(Y) e L²(X × Y) son ambos isomorfos a L²(X; L²(Y)).

Os produtos tensoriais dos espazos de Hilbert preséntanse a miúdo na mecánica cuántica. Se unha certa partícula é descrita polo espazo de Hilbert H₁, e se describe outra partícula por H₂, entón o conxunto que consiste en ambas partículas é descrito polo produto tensorial de H₁ e H₂. Por exemplo, o espazo de estado dun oscilador harmónico cuántico é L²(R), así que o espazo de estado de dous osciladores é L²(R) ⊗ L²(R ), o cal é isomorfo a L²(R²). Polo tanto, o conxunto de dúas partículas é descrito polas funcións da onda da forma φ(x₁, x₂). Un exemplo máis intricado é proporcionado polos espazos de Fock, que describen un número variable de partículas.

Descrición intrínseca

Na álxebra abstracta, a álxebra linear é elevada a álxebra multilinear introducindo o produto tensorial de dous espazos vectoriais. Introdúcese para reducir o estudo dos operadores bilineares ao dos operadores lineares. Isto é suficiente para facer o mesmo con todas as funcións multilineares.

Formalmente, o produto tensorial dos dous espazos vectoriais V e W sobre o mesmo corpo base F é definido pola seguinte propiedade universal: é un espazo vectorial T sobre F, xunto cun operador bilinear: $\otimes :V\times W\rightarrow T$, tales que para cada operador bilinear $B:V\times W\rightarrow X$ existe un operador linear L único: L: T → X con $B=L\circ \otimes$, i.e. $B(x,y)=L(x\otimes y)$ para todo x en V e y en W.

O produto tensorial é único salvo isomorfismo, especificado univocamente por este requisito, e podemos polo tanto escribir $V\otimes W$ en vez de T. Pola construción directa, segundo o suxerido na sección anterior, un pode demostrar que existe o produto tensorial para dous espazos vectoriais calquera. O espazo $V\otimes W$ é xerado pola imaxe da $\otimes$ e aínda máis: se S é unha base de V e T é unha base de W, entón os $s\otimes t$ (tal que $s\in S$ e $t\in T$) son unha base para $V\otimes W$.

A dimensión do espazo polo tanto está dada polo produto das dimensións de V e de W. É posible xeneralizar a definición a un produto tensorial de calquera número de espazos. Por exemplo, a propiedade universal de $V\otimes W\otimes X$ é que cada operador tri-linear en $V\times W\times X$ corresponde a un operador linear único en $V\otimes W\otimes X$.

O produto binario tensorial é asociativo: $(V\otimes W)\otimes Z$ é naturalmente isomorfo a $V\otimes (W\otimes Z)$.

O produto tensorial dos tres pódese polo tanto identificar con calquera deses: o binario $\otimes$ será suficiente. Os espazos tensoriais permiten que utilicemos a teoría de operadores lineares para estudar operadores multilineares, onde o caso bilinear é o principal.

Relación co espazo dual

Nótese que o espazo $(V\otimes W)^{\star }$ (espazo dual de $V\otimes W$ que contén todos os funcionais lineares nese espazo) corresponde naturalmente ao espazo de todos os funcionais bilineares nos $V\times W$. É dicir, cada funcional bilinear é un funcional no produto tensorial, e viceversa. Cando os espazos $V$ e $W$ son de dimensión finita, existe un isomorfismo natural entre $V^{\star }\otimes W^{\star }$ e $(V\otimes W)^{\star }$. Así pois, os tensores dos funcionais lineais son funcionais bilineares. Isto dános unha nova maneira de mirar o espazo de funcionais bilineares: como produto tensorial. No caso de dimensión arbitraria, tan só temos a inclusión $V^{\star }\otimes W^{\star }\subset (V\otimes W)^{\star }$.

Tipos de tensores, v.g. alternantes

Os subespazos lineares de operadores bilineares (ou en xeral, operadores multilineares) determinan espazos cociente naturais do espazo tensorial, que son con frecuencia útiles. Vexa produto cuña para o primeiro exemplo principal. Outro sería o tratamento das formas alxébricas como tensores anti-simétricos.

Sobre aneis máis xerais

É tamén posible xeneralizar a definición para os produtos tensoriais de módulos sobre o mesmo anel. Se o anel é non conmutativo, necesitaremos ter coidado en distinguir os módulos dereitos e os módulos esquerdos. Escribiremos _RM para un módulo esquerdo, e M_R para un módulo dereito. Se un módulo M ten unha estrutura esquerda de módulo sobre un anel R e unha estrutura de módulo dereito sobre un anel S, e ademais para cada m en M, r en R e s en S temos r(ms) = (rm)s, entón diremos que M é un bimódulo, e notarémolo _RM_S. Nótese que cada módulo esquerdo é un bimódulo con Z actuando por mn = m + m +... +m de m como o anel dereito, e viceversa.

Ao definir o produto tensorial, necesitamos ser coidadosos respecto ao anel: a maioría dos módulos pódense considerar como distintos módulos sobre diversos aneis ou sobre o mesmo anel con diversas accións do anel nos elementos do módulo. A forma máis xeral da definición de produto tensorial é como segue: Sexan M_R e _RN un módulo dereito e un módulo esquerdo, respectivamente. O seu produto tensorial R é un grupo abeliano P xunto cun operador R-bilineal T: M x N → P tal que para cada operador R-bilinear B: M x N → O hai un homomorfismo de grupos único L: P → O tales que L ou T = B. P non necesita ser un módulo sobre R. Mais se _S1M_R é un S₁-R-bimódulo, entón hai unha única estrutura de S₁-módulo esquerdo en P que é compatible con T. Similarmente _RM_S2 é un R-S₂-bimódulo, entón semellantemente hai unha única estrutura de S₂-módulo dereito en P que é compatible con T. Se M e N son ambos bimódulos, entón P é tamén un bimódulo, outra vez dunha maneira única. (P, T) é único salvo un isomorfismo único, e chámaselle "produto tensorial" de M e N. Se R é un anel, _RM é un R-módulo esquerdo, e o conmutador rs-sr de dous elementos calquera r e s de R está no anulador de M, entón pódese facer de M un módulo dereito de R fixando mr=rm. Obsérvese que nesta situación a acción de R en M factoriza por unha acción do anel comutativo R/Z(R), i.e. R módulo o seu centro. Neste caso o produto tensorial de M consigo mesmo sobre R é outra vez un R-módulo. Se M e N é ambos R-módulos que satisfán esta condición, entón o seu produto tensorial é outra vez un R-módulo. Isto é unha técnica moi común na álxebra comutativa.

Exemplo: Considere os números racionais Q e os enteros módulo n Z_n. Ambos pódense considerar como módulos sobre os números enteiros, Z. Sexa B: Q x Z_n → M sexa un operador Z-bilinear. Entón B(q, i) = B(q/n, n*i) = B(q/p, 0) = 0, así que cada operador bilinear é identicamente cero. Polo tanto, se definimos P como o módulo trivial, e T como a función bilinear cero, entón as propiedades para o produto tensorial son satisfeitas. Polo tanto, o produto tensorial de Q e Z_n é {0}.

Véxase tamén

Outros artigos

• Potencia tensorial
• Fibrado vectorial

Ligazóns externas

• Eric W. Weisstein. Wolfram Research, ed. "Vector Space Tensor Product". MathWorld (en inglés).