Subgrupo
Na teoría de grupos, unha rama das matemáticas, dado un grupo G baixo unha operación binaria ∗, un subconxunto H de G chámase subgrupo de G se H tamén forma un grupo baixo a operación ∗. Máis precisamente, H é un subgrupo de G se a restrición de ∗ a H × H é unha operación de grupo en H. Isto denótase tamén como H ≤ G, lido como "H é un subgrupo de G ".
O subgrupo trivial de calquera grupo é o subgrupo {e} que consiste só no elemento identidade.[1]
Un subgrupo propio dun grupo G é un subgrupo H que é un subconxunto propio de G (é dicir, H ≠ G). Isto represéntase por H < G, lido como "H é un subgrupo propio de G". Algúns autores tamén exclúen que o grupo trivial sexa propio (é dicir, H ≠ {e }). [2] [3]
Comprobación de subgrupos
editarTemos que G é un grupo e H é un subconxunto de G e a operación de grupo de G escríbese multiplicativamente.
- Daquela H é un subgrupo de G se e só se H non é baleiro e é pechado baixo produtos e inversos. Pechado baixo produtos significa que para cada a e b en H, o produto ab está en H. Pechado baixo inversos significa que para cada a en H, o inverso a−1 está en H. Estas dúas condicións pódense combinar nunha soa, que para cada a e b en H, o elemento ab−1 está en H.[4]
- Cando H é finito, a proba pódese simplificar: H é un subgrupo se e só se non é baleiro e é pechado baixo produtos. Estas condicións implican que cada elemento a de H xera un subgrupo cíclico finito de H, digamos de orde n, e entón o inverso de a é an−1. [4]
Cosets e teorema de Lagrange
editarDado un subgrupo H e algún a en G, definimos o coset (ou conxunto lateral, ou coclase) esquerdo aH = {ah : h in H}. Como a é invertible, o mapa φ : H → aH dado por φ(h) = ah é unha bixección. Alén diso, cada elemento de G está contido precisamente nun coset esquerdo de H; as clases secundarias da esquerda son as clases de equivalencia correspondentes á relación de equivalencia a1 ~ a2 se e só se está en H. O número de clases esquerdas de H chámase índice de H en G e o denotamos por [G : H] .
O teorema de Lagrange afirma que para un grupo finito G e un subgrupo H,
![{\displaystyle [G:H]={|G| \over |H|}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0e64b76d0605e6c7891273e65da28b5e431d4ea4)
onde |G| e |H| denotan as ordes (ou cardinalidades, número de elementos) de G e H, respectivamente. En particular, a orde de cada subgrupo de G (e a orde de cada elemento de G) debe ser un divisor de |G|.[5] [6]
Os cosets pola dereita defínense de xeito análogo: Ha = {ha : h in H}.
Se aH = Ha para cada a en G, entón dise que H é un subgrupo normal.
Exemplo: subgrupos de Z8
editarSexa G o grupo cíclico Z8 cuxos elementos son
e cuxa operación de grupo é a suma módulo 8. A súa táboa de Cayley é
| + | 0 | 4 | 2 | 6 | 1 | 5 | 3 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 4 | 2 | 6 | 1 | 5 | 3 | 7 |
| 4 | 4 | 0 | 6 | 2 | 5 | 1 | 7 | 3 |
| 2 | 2 | 6 | 4 | 0 | 3 | 7 | 5 | 1 |
| 6 | 6 | 2 | 0 | 4 | 7 | 3 | 1 | 5 |
| 1 | 1 | 5 | 3 | 7 | 2 | 6 | 4 | 0 |
| 5 | 5 | 1 | 7 | 3 | 6 | 2 | 0 | 4 |
| 3 | 3 | 7 | 5 | 1 | 4 | 0 | 6 | 2 |
| 7 | 7 | 3 | 1 | 5 | 0 | 4 | 2 | 6 |
Este grupo ten dous subgrupos non triviais: J = {0, 4} e H = {0, 4, 2, 6} , onde J tamén é un subgrupo de H. O grupo G é cíclico, e tamén o son os seus subgrupos. En xeral, os subgrupos de grupos cíclicos tamén son cíclicos.[7]
Exemplo: Subgrupos de S4
editarS4 é o Grupo simétrico cuxos elementos corresponden ás permutacións de 4 elementos. A continuación móstranse todos os seus subgrupos, ordenados por cardinalidades. Cada grupo (agás os de cardinalidade 1 e 2) está representado pola súa Táboa de Cayley.
24 elementos
editarComo en todos os grupo, S4 é un subgrupo de si mesmo (non é subgrupo propio).
 |
12 elementos
editarO grupo alternante A4 contén só as permutacións pares. É un dos dous subgrupos normais propios non triviais de S4. (O outro é o seu subgrupo de Klein).
Subgrupos:
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
.svg)
8 elementos
editar;_subgroup_of_S4.svg) Subgrupos: .svg) ;_subgroup_of_S4.svg) |
;_subgroup_of_S4.svg) Subgrupos: .svg) ;_subgroup_of_S4.svg) |
;_subgroup_of_S4.svg) Subgrupos: .svg) ;_subgroup_of_S4.svg) |
6 elementos
editar.svg) Subgrupo: |
.svg) Subgrupo: |
.svg) Subgrupo: |
.svg) Subgrupo: |
4 elementos
editar| |
|
|
|
| |
|
|
3 elementos
editar| |
|
|
|
2 elementos
editarCada permutación p de orde 2 xera un subgrupo {1, p }. Estas son as permutacións que só teñen 2 ciclos:
- Hai 6 transposicións cun 2 ciclos. (fondo verde)
- E 3 permutacións con dous ciclos. (fondo branco, números en grosa)
1 elemento
editarO subgrupo trivial é o único subgrupo de orde 1.
Outros exemplos
editar- Os enteiros pares forman un subgrupo do anel dos enteiros a suma de dous enteiros pares é par e o negativo dun enteiro par é par.
- Un ideal nun anel R é un subgrupo do grupo aditivo de R.
- Un subespazo linear dun espazo vectorial é un subgrupo do grupo aditivo de vectores.
- Nun grupo abeliano, os elementos de orde finita forman un subgrupo chamado subgrupo de torsión.
Notas
editar- ↑ Gallian 2013, p. 61.
- ↑ Hungerford 1974, p. 32.
- ↑ Artin 2011, p. 43.
- ↑ 4,0 4,1 Kurzweil & Stellmacher 1998, p. 4.
- ↑ Ver unha proba didáctica neste video.
- ↑ Dummit & Foote 2004, p. 90.
- ↑ Gallian 2013, p. 81.
Véxase tamén
editarBibliografía
editar- Jacobson, Nathan (2009). Basic algebra 1 (2nd ed.). Dover. ISBN 978-0-486-47189-1..
- Hungerford, Thomas (1974). Algebra (1st ed.). Springer-Verlag. ISBN 9780387905181..
- Artin, Michael (2011). Algebra (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 9780132413770..
- Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract algebra (3rd ed.). Hoboken, NJ: Wiley. ISBN 9780471452348. OCLC 248917264.
- Gallian, Joseph A. (2013). Contemporary abstract algebra (8th ed.). Boston, MA: Brooks/Cole Cengage Learning. ISBN 978-1-133-59970-8. OCLC 807255720.
- Kurzweil, Hans; Stellmacher, Bernd (1998). Theorie der endlichen Gruppen. Springer-Lehrbuch. doi:10.1007/978-3-642-58816-7.
- Ash, Robert B. (2002). Abstract Algebra: The Basic Graduate Year (en inglés). Department of Mathematics University of Illinois. Arquivado dende o orixinal o 27 de setembro de 2021. Consultado o 25 de abril de 2024.