Orde (teoría de grupos)

En matemáticas, a orde dun grupo finito é o número dos seus elementos. Se un grupo non é finito, dise que a súa orde é infinita. A orde dun elemento dun grupo (tamén chamado período) é a orde do subgrupo xerado polo elemento. Se a operación de grupo se denota como unha multiplicación, a orde dun elemento $a$ dun grupo é, polo tanto, o menor enteiro positivo $m$ de tal xeito que $a m = e$ , onde $e$ denota o elemento de identidade do grupo e $a m$ indica o produto de $m$ copias de $a$ . Se non existe tal $m$ , a orde de $a$ é infinita.

A orde dun grupo $G$ denotase por $ord(G)$ ou $| G |$ , e a orde dun elemento $a$ denotase por $ord(a)$ ou $| a |$ , en vez de $\operatorname {ord} (\langle a\rangle ),$ onde os corchetes en ángulo indican o grupo xerado por $a$ .

O teorema de Lagrange di que para calquera subgrupo $H$ dun grupo finito $G$ , a orde do subgrupo divide a orde do grupo; é dicir, $| H |$ é un divisor de $| G |$ . En particular, a orde $| a |$ de calquera elemento é un divisor de $| G |$ .

Exemplo

O grupo simétrico S₃ ten a seguinte táboa multiplicativa ou de Cayley.

Este grupo ten seis elementos, así que $ord(S 3) = 6$ . Por definición, a orde da identidade, $e$ , é un, xa que $e 1 = e$ . Cada un dos $s$ , $t$ e $w$ son $e$ ao elevaren ao cadrado, polo que estes elementos do grupo teñen orde dous: $| s | = | t | = | w | = 2$ . Finalmente, $u$ e $v$ teñen orde 3, xa que $u 3 = vu = e$ , $v 3 = uv = e$ .

Orde e estrutura

A orde dun grupo G e as ordes dos seus elementos dan moita información sobre a estrutura do grupo. A grandes liñas, canto máis complicada é a factorización de |G| máis complicada é a estrutura de G.

Para |G| = 1, o grupo é trivial. En calquera grupo, só o elemento de identidade a = e ten ord(a) = 1. Se todo elemento non identidade en G é igual ao seu inverso (de xeito que a ² = e), entón ord(a) = 2; isto implica que G é abeliano xa que $ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba$ . A inversa non é verdade; por exemplo, o grupo cíclico (aditivo) Z₆ de números enteiros módulo 6 é abeliano, pero o número 2 ten orde 3:

2+2+2=6\equiv 0{\pmod {6}}

.

A relación entre os dous conceptos de orde é a seguinte: se escribimos

\langle a\rangle =\{a^{k}\colon k\in \mathbb {Z} \}

para o subgrupo xerado por a, daquela

\operatorname {ord} (a)=\operatorname {ord} (\langle a\rangle ).

Para calquera número enteiro k, temos

a ^k = e se e só se ord(a) divide a k.

En xeral, a orde de calquera subgrupo de G divide a orde de G. Máis precisamente: se H é un subgrupo de G, daquela

ord(G )/ord(H) = [G :H], onde [G:H] chámase índice de H en G, un número enteiro. Este é o teorema de Lagrange. (Isto só é certo cando G ten orde finita. Se ord(G) =

\infty

, o cociente ord(G)/ord(H) non ten sentido).

Como consecuencia inmediata do anterior, vemos que a orde de cada elemento dun grupo divide a orde do grupo. Por exemplo, no grupo simétrico mostrado arriba, onde ord(S₃) = 6, as posibles ordes dos elementos son 1, 2, 3 ou 6.

Polo outro lado, o seguinte é verdade para grupos finitos: se d divide a orde dun grupo G e d é un número primo, entón existe un elemento de orde d en G (ás veces chámase teorema de Cauchy). Esta afirmación non vale para as ordes compostas, por exemplo, o grupo de Klein-4 non ten un elemento de orde catro. Isto pódese demostrar mediante indución.^[1] As consecuencias do teorema inclúen: a orde dun grupo G é unha potencia dun p primo se e só se ord(a) é algunha potencia de p para todo a en G.^[2]

Se a ten unha orde infinita, todas as potencias distintas de cero de a tamén teñen unha orde infinita. Se a ten orde finita, temos a seguinte fórmula para a orde das potencias de a:

ord(a^k) = ord(a) / mcd(ord(a), k)^[3]

para todo número enteiro k. En particular, a e a súa inversa a ⁻¹ teñen a mesma orde.

En calquera grupo,

\operatorname {ord} (ab)=\operatorname {ord} (ba)

En relación cos homomorfismos

Os homomorfismos de grupo tenden a reducir as ordes dos elementos: se f : G → H é un homomorfismo e a é un elemento de G de orde finita, entón ord(f (a)) divide ord(a). Se f é inxectiva, entón ord(f(a)) = orde(a). Isto pode usarse a miúdo para demostrar que non hai homomorfismos nin homomorfismos inxectivos entre dous grupos dados explicitamente. (Por exemplo, non pode haber homomorfismo non trivial h: S₃ → Z₅, porque todo número agás o cero en Z₅ ten orde 5, que non divide as ordes 1, 2 e 3 dos elementos en S ₃ .) Outra consecuencia é que os elementos conxugados teñen a mesma orde.

Ecuación de clase

Un resultado importante sobre as ordes é a ecuación de clase; relaciona a orde dun grupo finito G coa orde do seu centro Z(G) e os tamaños das súas clases de conxugación non triviais:

|G|=|Z(G)|+\sum _{i}d_{i}\;

onde os d_i son os tamaños das clases de conxugación non triviais; estas son divisores propios de |G| maiores que un, e tamén son iguais aos índices dos centralizadores en G dos representantes das clases de conxugación non triviais. Por exemplo, o centro de S₃ é só o grupo trivial co único elemento e, e a ecuación di |S₃ |= 1+2+3.

Notas

↑ Conrad, Keith. "Proof of Cauchy's Theorem" (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2018-11-23. Consultado o May 14, 2011.
↑ Conrad, Keith. "Consequences of Cauchy's Theorem" (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2018-07-12. Consultado o May 14, 2011.
↑ Dummit, David; Foote, Richard. Abstract Algebra, ISBN 978-0471433347, pp. 57

Véxase tamén

Bibliografía

Dummit, David; Foote, Richard. Abstract Algebra, ISBN 978-0471433347, pp. 20, 54–59, 90
Artin, Michael. Algebra, ISBN 0-13-004763-5, pp. 46–47

Outros artigos

Índice (teoría de grupos).

[1] Conrad, Keith. "Proof of Cauchy's Theorem" (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2018-11-23. Consultado o May 14, 2011.

[2] Conrad, Keith. "Consequences of Cauchy's Theorem" (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2018-07-12. Consultado o May 14, 2011.

[3] Dummit, David; Foote, Richard. Abstract Algebra, ISBN 978-0471433347, pp. 57

[1]

[2]

[3]