Abrir o menú principal

Na matemática, a álxebra multilinear é unha área de estudo que xeneraliza os métodos da álxebra linear. Os obxectos de estudo son os produtos tensoriais de espazos vectoriais e as transformacións multilineares entre os espazos.

Índice

NotaciónEditar

A álxebra multilinear fai un uso intensivo da notación multiíndice. Unha notación dese tipo representa as combinacións lineares por un conxunto de dous ou máis índices repetidos.

  • No caso elemental (tensores de rango un contravariantes) tense, empregando a convención da suma de Einstein:  . O que indica que o obxecto X, é a combinación linear:


 

sobre os vectores básicos  , e os   chamados compoñentes de X. Aquí   é a dimensión alxébrica do espazo ao que pertence X. Por convención chámaselles 1-contra-tensores.
  • En rango uno tamén están os 1-co tensores, é dicir aplicacións lineares dende o espazo escollido ata o campo dos escalares. Escríbense como combinación linear dos funcionais lineares  , transformacións lineares   que satisfán:  , onde se está empregando o delta de Kronecker. Deste xeito, calquera covector   se escribe como  , notación que se abrevia como  .
  • Tensores de rango dous:
    • Un tensor de rango dous contravariante é  .
    • Un tensor de rango dous covariante é  .
    • E un tensor de rango dous mixto é  . Isto indica unha combinación linear biindexada.
Por exemplo,


 

se a dimensión do espazo é dous.
  • Xeneralizando o anterior escríbese   para representar os compoñentes dun tensor mixto A, que é p-contravariante e q-covariante. Pero


 

representa unha combinación linear multiindexada.

Todo o anterior só foi considerando que o espazo vectorial é de dimensión finita igual a n.

Produto tensorialEditar

Tendo dous espazos vectoriais V, W, con bases respectivas  ,   defínese o seu produto tensorial


 

é dicir o espazo vectorial xerado polos novos símbolos


 

Polo tanto se un obxecto X que pertence a   pode representarse como unha combinación linear


 

e que se abrevia como


 

os índices repetidos s ou t, indican, cada un, a suma.

Esta definición é absolutamente abstracta, pero dende o punto de vista alxébrico non hai ningún problema en explorar todas as posibilidades do produto tensorial. Xorde unha gran cantidade de espazos simplemente ao considerar un espazo vectorial V e o seu dual  , obténdose os espazos:


 

 

 

 

 

Todos eles de uso cotián en xeometría diferencial, xeometría alxébrica, relatividade e outros campos.

Tensores e formasEditar

Sexa   xerado polos  . Simbolizando con   a base do dual   calquera elemento de   escríbese da forma  . Esta mesma expresión pode ser vista como unha función bilinear

 
 

sabiendo que   - kronecker.

Outro de rango dous é  . Os elementos de aquí vense como combinacións lineares biindexadas  .

Véxase taménEditar

BibliografíaEditar



 
 Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.
 Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.