Abrir o menú principal

Derivación (matemática)

Para a derivación en cálculo, véxase Derivada.
Para a técnica de análise numérica, véxase Derivación numérica.
Derivación.

A derivación, matematicamente, é un concepto esencial para determinar os espazos tanxentes sobre variedades diferenciábeis, e as súas calidades, propiedades e consecuencias.

É unha peza fundamental, clave no desenvolvemento da teoría para a xeometría diferencial tal e como está estruturada actualmente.

Definición de derivaciónEditar

Sexa   unha variedade diferenciábel e  , chamaremos derivación no punto   a

  aplicación   lineal, é dicir:
 ,  ,
  •  ,
  •  .
e tal que  ,  , é dicir, que cumpre a regra de Leibniz.

Observación

  é o conxunto de funcións diferenciábeis en  , e é un   álxebra conmutativa, (é un  espazo vectorial).
  é equivalente a  , é dicir,   avaliado no punto  .

Exemplos de derivaciónEditar

A derivada parcialEditar

Sexa   e  , vexamos que a aplicación seguinte é derivación:

 

Demostración:

Vexamos primeiro que é  lineal, é dicir, que   e   vemos que:
  •  ,
  •  .
Vexamos finalmente que é unha derivación:
 .
Queda, así, demostrado que a derivada parcial é unha derivación.

A derivada direccionalEditar

Sexa  ,   e  , pódese ver, de igual modo que no exemplo anterior, que a aplicación seguinte é derivación:

 .

DefiniciónsEditar

Sexa   unha variedade diferenciábel e  , chamaremos espazo tanxente a   en   ao  espazo vectorial das derivacións de   en  , notado por  , e os sus elementos chamaranse vectores tanxentes a   en  .

ConsecuenciasEditar

Propiedade da derivación dunha función localmente constanteEditar

Sexa   unha variedade diferenciábel,  ,   e   tal que   entorno aberto en   onde  ,  , entón temos que  .

Demostración:

Por linealidade de   temos
 ,
aquí, aplicando a condición de derivación a   temos
 ,
de simplificar este último, resulta  , aplicándoo ao anterior resulta que  .

ExemploEditar

Interésanos que a función localmente constante sexa infinitamente diferenciábel en todas as partes, é dicir, de clase  :

  • a función meseta   asociada a  , onde     compacto cuxo interior contén a  .

Propiedade da derivación do produto coa función mesetaEditar

Sexa   unha variedade diferenciábel,  ,  ,   e   unha función meseta asociada a  , temos que:

 .

Demostración:

Aplicando a regra de Leibniz temos que  , pola propiedade anterior temos que  

PropiedadeEditar

Sexa   unha variedade diferenciábel,   e   tal que   entorno aberto en   onde  , entón temos que:

 .

Demostración:

Sexa   unha función meseta asociada a  , temos así que   en todo   tamén   por tanto  , e pola propiedade anterior temos que  .

Véxase taménEditar

BibliografíaEditar

  • Carlos Currás Bosch, Geometria diferencial: varietats diferenciables i varietats de Riemann, Ed:UB. 2003.