Polinomio

Un polinomio é unha expresión matemática formada por indeterminados (tamén chamados variables) e coeficientes, que implica só as operacións de suma, resta, multiplicación e potencias enteiras positivas das variables. Un exemplo de polinomio dun único x indeterminado é x² − 4x + 7. Un exemplo con tres variables é x³ + 2xyz² − yz + 1.

Etimoloxía

A palabra polinomio une dúas raíces diversas: o grego poly, que significa "moitos", e o latín nomen, ou "nome". A palabra polinomio utilizouse por primeira vez no século XVII.

Notación e terminoloxía

A gráfica dunha función polinómica de grao 3

Un polinomio P na variable x denótase comunmente P ou P(x). Cando non é necesario salientar o nome da variable, moitas fórmulas son moito máis sinxelas e de fácil lectura se non aparecen os nomes das variables.

Podemos escribir P(a) para asignar o valor a para a variable x. Ese valor a pode pertencer a calquera dominio onde se definan a suma e a multiplicación (é dicir, calquera anel). En particular, se a é un polinomio, entón P(a) tamén é un polinomio.

Definición

Unha expresión polinómica é unha expresión que se pode construír a partir de constantes e símbolos chamados variables ou indeterminados mediante a suma, a multiplicación e a exponenciación a unha potencia enteira non negativa. Normalmente as constantes son números, pero poden ser calquera expresión que non involucre os indeterminados e representen obxectos matemáticos que se poden sumar e multiplicar. Considérase que dúas expresións polinómicas definen o mesmo polinomio se se poden transformar, unha a outra, aplicando as propiedades habituais de conmutividade, asociatividade e distributividade de suma e multiplicación. Por exemplo $(x-1)(x-2)$ e $x^{2}-3x+2$ son dúas expresións polinómicas que representan o mesmo polinomio; así, un ten a igualdade $(x-1)(x-2)=x^{2}-3x+2$ .

Un polinomio nunha única x indeterminada sempre a pordemos reescribir na forma

$$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},$$

onde $a_{0},\ldots ,a_{n}$ son constantes que se denominan coeficientes do polinomio, e $x$ é o indeterminado. Calquera valor pode ser substituído por $x$. A correspondencia que asocia o resultado desta substitución ao valor substituído é unha función, chamada función polinómica.

Isto pódese expresar de forma máis concisa usando a notación de suma:

$$\sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}$$

Clasificación

O expoñente dun indeterminado nun termo chámase grao dese indeterminado nese termo; se hai varios indeterminados o grao do termo é a suma dos graos dos indeterminados nese termo, e o grao dun polinomio é o maior grao de calquera termo con coeficiente distinto de cero. Dado que x = x¹, o grao dun indeterminado sen expoñente é un.

Un termo sen indeterminados e un polinomio sen indeterminados chámanse, respectivamente, termo constante e polinomio constante. O grao dun termo constante e dun polinomio constante distinto de cero é 0.

Por exemplo:$-5x^{2}y$ é un termo con coeficiente -5, indeterminados x e y, o grao de x é 2 e o grao de y é 1, por tanto o grao do termo é 3.

Outro exemplo:

$$\underbrace {_{\,}3x^{2}} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {termo} \\\mathrm {1} \end{smallmatrix}}\underbrace {-_{\,}5x} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {termo} \\\mathrm {2} \end{smallmatrix}}\underbrace {+_{\,}4} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {termo} \\\mathrm {3} \end{smallmatrix}},$$

consta de tres termos: o primeiro é o grao dous, o segundo é o grao un e o terceiro é o grao cero.

Aos polinomios de pequeno grao déronselles nomes específicos. Un polinomio de grao cero é un polinomio constante, ou simplemente unha constante. Os polinomios de grao un, dous ou tres son respectivamente polinomios lineares, polinomios cadráticos e polinomios cúbicos.

No caso de polinomios en máis dun indeterminado, un polinomio denomínase homoxéneo de grao n se todos os seus termos distintos de cero teñen grao n. Por exemplo, x³y² + 7x²y³ − 3x⁵ é homoxéneo de grao 5.

A lei conmutativa da suma pódese usar para reorganizar os termos en calquera orde preferida.

Dous termos cos mesmos indeterminados elevados ás mesmas potencias pódense sumar mediante a lei distributiva, nun único termo cuxo coeficiente é a suma dos coeficientes dos termos sumados. Os polinomios pódense clasificar polo número de termos con coeficientes distintos de cero, de xeito que un polinomio dun termo chámase monomio, un polinomio de dous termos chámase binomio e un polinomio de tres termos chámase un trinomio.

Un polinomio real é un polinomio con coeficientes reais. Do mesmo xeito, un polinomio enteiro é un polinomio con coeficientes enteiros, e un polinomio complexo é un polinomio con coeficientes complexos .

Un polinomio nun indeterminado chámase polinomio univariado, un polinomio en máis dun indeterminado chámase polinomio multivariado. Un polinomio con dous indeterminados chámase polinomio bivariado.

Operacións

Suma e resta

Os polinomios pódense sumar usando a lei asociativa da suma e reordenando usando a lei conmutativa. Por exemplo, se temos

$$P=3x^{2}-2x+5xy-2.$$

$$Q=-3x^{2}+3x+4y^{2}+8.$$

Daquela a suma

$$P+Q=3x^{2}-2x+5xy-2-3x^{2}+3x+4y^{2}+8$$

pódese reordenar e reagrupar como

$$P+Q=(3x^{2}-3x^{2})+(-2x+3x)+5xy+4y^{2}+(8-2)$$

E simplificarse finalmente a

$$P+Q=x+5xy+4y^{2}+6.$$

Cando se suman polinomios, o resultado é outro polinomio.

A resta faise de modo similar.

Multiplicación

Os polinomios tamén se poden multiplicar. Cada termo dun polinomio multiplícase por cada termo do outro. Por exemplo, se temos

$${\begin{aligned}\color {Red}P&\color {Red}{=2x+3y+5}\\\color {Blue}Q&\color {Blue}{=2x+5y+xy+1}\end{aligned}}$$

daquela

$${\begin{array}{rccrcrcrcr}{\color {Red}{P}}{\color {Blue}{Q}}&{=}&&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{1}})\end{array}}$$

operando temos

$${\begin{array}{rccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&10xy&+&2x^{2}y&+&2x\\&&+&6xy&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&3y\\&&+&10x&+&25y&+&5xy&+&5.\end{array}}$$

A combinación de termos similares produce

$${\begin{array}{rcccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&(10xy+6xy+5xy)&+&2x^{2}y&+&(2x+10x)\\&&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&(3y+25y)&+&5\end{array}}$$

que se pode simplificar a

$$PQ=4x^{2}+21xy+2x^{2}y+12x+15y^{2}+3xy^{2}+28y+5.$$

O produto de polinomios é sempre un polinomio.

Composición

Dado un polinomio $f$ dunha soa variable e outro polinomio g de calquera número de variables, a composición $f\circ g$ obtense substituíndo cada copia da variable do primeiro polinomio polo segundo polinomio. Por exemplo, se $f(x)=x^{2}+2x$ e $g(x)=3x+2$ entón

$$(f\circ g)(x)=f(g(x))=(3x+2)^{2}+2(3x+2).$$

A composición de dous polinomios é outro polinomio.

División

Normalemtne a división dun polinomio por outro non é un polinomio. Estas divisións son unha familia máis xeral de obxectos, chamadas fraccións racionais, expresións racionais ou funcións racionais, dependendo do contexto. Isto é análogo ao feito de que a división de dous enteiros é un número racional, non necesariamente un enteiro.Por exemplo, a fracción 1/(x² + 1) non é un polinomio e non se pode escribir como unha suma finita de potencias da variable x.

Con polinomios dunha variable podemos realizar a división de Euclides de polinomios, xeneralizando a división de Euclides de números enteiros. Esta noción da división a(x)/b(x) dá como resultado dous polinomios, un cociente q(x) e un resto r(x), tal que a = b q + r e grao(r) < grao(b). O cociente e o resto pódense calcular mediante calquera dos varios algoritmos, incluíndo a división polinómica longa e a división sintética.

Cando o denominador b(x) é mónico e tamén linear, é dicir, b(x) = x − c para algunha constante c, entón o teorema do resto polinómico afirma que o resto da división de a(x) por b(x) é a avaliación a(c). Neste caso, o cociente pódese calcular mediante a regra de Ruffini, un caso especial de división sintética.

Factorización

Todos os polinomios con coeficientes nun dominio de factorización único (por exemplo, os números enteiros ou un corpo) tamén teñen unha forma factorizada na que o polinomio se escribe como un produto de polinomios irredutibles e unha constante. Por exemplo, a forma factorizada de

$$5x^{3}-5$$

é, no corpo dos enteiros e os reais

$$5(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)$$

e nos complexos

$$5(x-1)\left(x+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)\left(x+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right)$$

Cálculo

Calcular derivadas e integrais de polinomios é particularmente sinxelo, en comparación con outros tipos de funcións. A derivada do polinomio

$$P=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}$$

con respecto a x é o polinomio

$$na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\dots +2a_{2}x+a_{1}=\sum _{i=1}^{n}ia_{i}x^{i-1}.$$

Do mesmo xeito, a integral ou antiderivada xeral de $P$ é

$${\frac {a_{n}x^{n+1}}{n+1}}+{\frac {a_{n-1}x^{n}}{n}}+\dots +{\frac {a_{2}x^{3}}{3}}+{\frac {a_{1}x^{2}}{2}}+a_{0}x+c=c+\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}x^{i+1}}{i+1}}$$

onde c é unha constante arbitraria. Por exemplo, a integral de x² + 1 ten a forma 1/3x³ + x + c.

Para polinomios cuxos coeficientes proveñen de configuracións máis abstractas (por exemplo, se os coeficientes son números enteiros módulo algún número primo p, ou elementos dun anel), a fórmula da derivada aínda se pode interpretar formalmente, entendendo que o coeficiente ka_k significa a suma de k copias de a_k. Por exemplo, sobre os números enteiros módulo p, a derivada do polinomio x^p + x é o polinomio constante 1.

Funcións polinómicas

Unha función polinómica é unha función que se pode definir avaliando un polinomio.

Toda función polinómica é continua, suave e enteira.

A avaliación dun polinomio é o cálculo da función polinómica correspondente; é dicir, a avaliación consiste en substituír un valor numérico en cada indeterminado e realizar as multiplicacións e sumas indicadas.

Gráficos

• 
  Polinomios de grao 0:
  f(x) = 2
• 
  Polinomio de grao 1:
  f(x) = 2x + 1
• 
  Polinomios de grao 2:
  f(x) = x² − x − 2
  = (x + 1)(x − 2)
• 
  Polinomios de grao 3:
  f(x) = x³/4 + 3x²/4 − 3x/2 − 2= 1/4 (x + 4)(x + 1)(x − 2)
• 
  Polinomios de grao 4:
  f(x) = 1/14 (x + 4)(x + 1)(x − 1)(x − 3)
  + 0.5
• 
  Polinomios de grao 5:
  f(x) = 1/20 (x + 4)(x + 2)(x + 1)(x − 1)
  (x − 3) + 2
• 
  Polinomios de grao 6:
  f(x) = 1/100 (x⁶ − 2x ⁵ − 26x⁴ + 28x³+ 145x² − 26x − 80)
• 
  Polinomios de grao 7:
  f(x) = (x − 3)(x − 2)(x − 1)(x)(x + 1)(x + 2)(x + 3)

Unha función polinómica non constante tende ao infinito cando a variable aumenta indefinidamente (en valor absoluto). Se o grao é superior a un, a gráfica non ten asíntota ningunha, nese caso ten dúas ramas parabólicas con dirección vertical (unha rama para x positivo e outra para x negativo).

Ecuacións

Unha ecuación polinómica, tamén chamada ecuación alxébrica, é unha ecuación da forma

$$a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0.$$

Por exemplo,

$$3x^{2}+4x-5=0$$

Unha ecuación polinómica contrasta cunha identidade polinómica como (x + y)(x − y) = x² − y², onde ambas as expresións representan o mesmo polinomio en diferentes formas e, como consecuencia, calquera avaliación de ambos os membros dá unha igualdade válida.

En álxebra elemental, ensínanse métodos como a fórmula cadrática para resolver todas as ecuacións polinómicas de primeiro e segundo grao nunha soa variable. Tamén pódense usar algoritmos de busca de raíces para atopar aproximacións numéricas das raíces dunha expresión polinómica de calquera grao.

O número de solucións dunha ecuación polinómica con coeficientes reais non pode exceder o grao, e é igual ao grao cando as solucións complexas se contan coa súa multiplicidade. Este feito chámase teorema fundamental da álxebra.

Un número a é unha raíz dun polinomio P se e só se o polinomio linear x − a divide P, é dicir, se existe outro polinomio Q tal que P = (x − a) Q. Pode ocorrer que unha potencia (maior que 1) de x − a divida P ; neste caso, a é unha raíz múltiple de P, e se non a é unha raíz simple de P. Se P é un polinomio distinto de cero, existe a maior potencia m tal que (x − a)^m divide P, que se chama multiplicidade de a como raíz de P. O número de raíces dun polinomio P distinto de cero, contado coas súas respectivas multiplicidades, non pode exceder o grao de P, e é igual a este grao se se consideran todas as raíces complexas (isto é unha consecuencia do teorema fundamental da álxebra). Os coeficientes dun polinomio e as súas raíces están relacionados mediante as fórmulas de Viète.

En 1824, Niels Henrik Abel demostrou o resultado de que hai ecuacións de grao 5 cuxas solucións non se poden expresar mediante unha fórmula (finita), que só implican operacións aritméticas e radicais (ver teorema de Abel-Ruffini). En 1830, Évariste Galois demostrou que a maioría das ecuacións de grao superior a catro non se poden resolver mediante radicais, e demostrou que para cada ecuación pódese decidir se é resoluble por radicais e, se é así, resolvela. Este resultado marcou o inicio da teoría de Galois e da teoría de grupos, dúas ramas importantes da álxebra moderna.

Cando non hai unha expresión alxébrica para as raíces, e cando tal expresión alxébrica existe mais é demasiado complicada para ser útil, a única forma de resolvela é calcular aproximacións numéricas das solucións. (Ver Algoritmo de busca de raíces).

Para polinomios con máis dun indeterminado, as combinacións de valores das variables para as que a función polinómica toma o valor cero chámanse xeralmente ceros en lugar de "raíces". (Ver Sistema de ecuacións polinómicas).

O caso especial no que todos os polinomios son de grao un chámase sistema de ecuacións lineares, para o cal existe outra gama de métodos de solución diferentes, incluíndo a eliminación clásica de Gauss.

Unha ecuación polinómica na que só se queren as solucións que son enteiros chámase ecuación diofantiana. Resolver ecuacións diofantianas é xeralmente unha tarefa moi difícil. Probouse que non pode haber ningún algoritmo xeral para resolvelas, nin sequera para decidir se o conxunto de solucións está baleiro (ver o décimo problema de Hilbert). Algúns dos problemas máis famosos que se resolveron durante os últimos cincuenta anos están relacionados coas ecuacións diofántianas, como o último teorema de Fermat.

Véxase tamén

Bibliografía

• Barbeau, E.J. (2003). Polynomials. Springer. ISBN 978-0-387-40627-5. 
• Bronstein, Manuel; et al., eds. (2006). Solving Polynomial Equations: Foundations, Algorithms, and Applications. Springer. ISBN 978-3-540-27357-8. 
• Cahen, Paul-Jean; Chabert, Jean-Luc (1997). Integer-Valued Polynomials. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-0388-2. 
• Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (1990). Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38632-6. .
• Leung, Kam-tim; et al. (1992). Polynomials and Equations. Hong Kong University Press. ISBN 9789622092716. 
• Mayr, K. (1937). Über die Auflösung algebraischer Gleichungssysteme durch hypergeometrische Funktionen. Monatshefte für Mathematik und Physik 45. pp. 280–313. doi:10.1007/BF01707992. 
• McCoy, Neal H. (1968). Introduction To Modern Algebra, Revised Edition. Boston: Allyn and Bacon. LCCN 68015225. 
• Prasolov, Victor V. (2005). Polynomials. Springer. ISBN 978-3-642-04012-2. 
• Sethuraman, B.A. (1997). "Polynomials". Rings, Fields, and Vector Spaces: An Introduction to Abstract Algebra Via Geometric Constructibility. Springer. ISBN 978-0-387-94848-5. 
• Toth, Gabor (2021). "Polynomial Expressions". Elements of Mathematics. Undergraduate Texts in Mathematics. pp. 263–318. ISBN 978-3-030-75050-3. doi:10.1007/978-3-030-75051-0_6. 
• Umemura, H. (2012) [1984]. "Resolution of algebraic equations by theta constants". En Mumford, David. Tata Lectures on Theta II: Jacobian theta functions and differential equations. Springer. pp. 261–. ISBN 978-0-8176-4578-6. 
• Varberg, Dale E.; Purcell, Edwin J.; Rigdon, Steven E. (2007). Calculus (9th ed.). Pearson Prentice Hall. ISBN 978-0131469686. 
• von Lindemann, F. (1884). Ueber die Auflösung der algebraischen Gleichungen durch transcendente Functionen. Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen 1884. pp. 245–8. 
• von Lindemann, F. (1892). Ueber die Auflösung der algebraischen Gleichungen durch transcendente Functionen. II. Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen 1892. pp. 245–8. 

Outros artigos

• en:List of polynomial topics

Ligazóns externas

• Markushevich, A.I. (2001) [1994]. "Polynomial". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 
• "Euler's Investigations on the Roots of Equations".