Cálculo de variacións

O cálculo de variacións é un problema matemático consistente en buscar máximos e mínimos (ou máis xeralmente extremos relativos) de funcionais continuos definidos sobre algún espazo funcional.

Constitúen unha xeneralización do cálculo elemental de máximos e mínimos de funcións reais dunha variable

HistoriaEditar

O cálculo de variacións desenvolveuse a partir do problema da curva braquistócrona, exposto inicialmente por Johann Bernoulli (1696). Inmediatamente este problema captou a atención de Jakob Bernoulli e o marqués de L'Hôpital, aínda que foi Leonhard Euler o primeiro que elaborou unha teoría do cálculo variacional. As contribucións de Euler iniciáronse en 1733 coa súa Elementa Calculi Variationum ("Elementos do cálculo de variacións") que deu nome á disciplina.

Lagrange contribuíu cumpridamente á teoría e Legendre (1786) asentou un método, non enteiramente satisfactorio para distinguir entre máximos e mínimos. Isaac Newton e Gottfried Leibniz tamén prestaron atención a este asunto. Outros traballos destacados foron os de Vincenzo Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Poisson (1831), Mikhail Ostrogradski (1834) e Carl Jacobi (1837). Un traballo xeral particularmente importante é o de Sarrus (1842) que foi resumido por Cauchy (1844). Outros traballos destacados posteriores son os de Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) e Carll (1885), aínda que quizais o máis importante dos traballos durante o século XIX é o de Weierstrass. Este importante traballo foi unha referencia estándar e é o primeiro que trata o cálculo de variacións sobre unha base firme e rigorosa. Os problemas 20 e 23 de Hilbert expostos en 1900 estimularon algúns desenvolvementos posteriores. Durante o século XX, David Hilbert, Emmy Noether, Leonida Tonelli, Henri Lebesgue e Jacques Hadamard, entre outros, fixeron contribucións notables. Marston Morse aplicou o cálculo de variacións ao que actualmente se coñece como teoría de Morse. Lev Semenovich Pontryagin, Ralph Rockafellar e Clarke desenvolveron novas ferramentas matemáticas dentro da teoría do control óptimo, xeneralizando o cálculo de variacións.

Problema isoperimétricoEditar

Cal é a área máxima A que pode rodearse cunha curva de lonxitude L dada? De non existiren restricións adicionais, a solución é:


 

que é o valor que se obtén para un círculo de raio  .

Se se impoñen restricións adicionais a solución é diferente. Un exemplo é se se supón que L se considera sobre unha función   e os extremos da curva están sobre os puntos   onde a distancia entre eles está dada. É dicir  . O problema de achar unha curva que maximice a área entre ela e o eixe X sería atopar unha función   de modo que:


 

coas restricións:


 

BraquistócronaEditar

O problema da curva braquistócrona remóntase a Jakob Bernoulli (1696). Refírese a atopar unha curva no plano cartesiano que vaia do punto   á orixe de modo que un punto material que se desliza sen fricción sobre ela tarda o menor tempo posible en ir de   á orixe. Usando principios de mecánica clásica o problema pode formularse como,


 

onde g é a gravidade e as restricións son,  ,  . Hai que notar que en   existe unha singularidade.

Formulación xeralEditar

Un dos problemas típicos en cálculo diferencial é o de atopar o valor de   para o cal a función   alcanza un valor extremo (máximo ou mínimo). No cálculo de variacións o problema é atopar unha función   para a cal un funcional   alcance un valor extremo. O funcional   está composto por unha integral que depende de  , da función   e algunhas das súas derivadas.

(1a)

 

Onde a función   pertence a algún espazo de funcións (espazo de Banach, espazo de Hilbert), e tanto ela como as súas derivadas poden ter restricións. Esta fórmula integral pode ser máis complicada permitindo a   ser un vector, e polo tanto incluíndo derivadas parciais para  :

(1b)

 

Espazos funcionaisEditar

A fundamentación rigorosa do cálculo de variacións require considerar variedades diferenciais lineares de dimensión infinita. De feito o punto de partida do cálculo de variacións é un teorema da análise funcional que proba que é posible considerar unha curva nun espazo funcional (p.ex. traxectoria no espazo fásico) simplemente como unha función cunha variable adicional, concretamente:[1]

A categoría formada por espazos vectoriais convenientes e funcións suaves entre eles é pechada polo produto cartesiano, de tal manera que se ten a seguinte bixección natural:


 
onde   son espazos vectoriais convenientes e a bixección anterior é un difeomorfismo.

O teorema anterior pode aplicarse por exemplo ao principio de mínima acción onde trata de atoparse a traxectoria posible no espazo de fases que fai mínima a integral de acción. Dita traxectoria é unha curva suave no espazo de traxectorias E, considerando agora:


 

Tense que o problema de minimización pode reducirse a minimizar unha certa función real f de variable real:


 

Extremos relativos débiles e fortesEditar

Un problema variacional require que o funcional   estea definido sobre un espazo de Banach   adecuado. A norma vectorial de devandito espazo é o que permite definir rigorosamente se unha solución é un mínimo ou un máximo relativo. Por exemplo unha función   é un mínimo relativo se existe un certo   tal que, para toda función   se cumpre que:


 

NotasEditar

  1. A. Kriegl y P. Michor, 1989, p. 3

Véxase taménEditar

BibliografíaEditar

Outros artigosEditar

Ligazóns externasEditar