Norma (matemáticas)

Unha bóla centrada na orixe de relativa a tres normas distintas.

Nas Matemáticas, unha norma consiste nunha función que a cada elemento dun espazo vectorial lle asocia un número real non-negativo. O concepto de norma está relacionado intuitivamente coa noción xeométrica de lonxitude.

DefiniciónEditar

Dado un espazo vectorial   sobre o corpo   dos números reais ou complexos, unha función   é chamada de norma se, para calquera   e todo  :[1]

  •  . Se esta condición non for atendida, a función será como máximo unha seminorma.
  •  
  •   (desigualdade triangular)

Se o espazo vectorial   ten unha norma, pasa a coñecerse como espazo normado, e denótase por  .

Métrica e topoloxía inducidaEditar

Toda norma induce de forma natural unha métrica   en   que ten valores dados por:[2]

 

Tamén induce unha topoloxía localmente convexa que é xerada por todas as bólas:

 

Normas equivalentesEditar

Dúas normas   e   sobre o mesmo espazo vectorial   chámanse equivalentes se existiren constantes reais positivas   e   tales que:

 

Cando dúas normas son equivalentes, inducen a mesma topoloxía.

Normas en espazos de dimensión finitaEditar

Sexa   a representación dun vector en   ou  .

As normas canónicas definidas nestes espazos son as chamadas normas  :

  •  
  •  

O caso particular no que   corresponde á norma euclidiana:

 

Pódense definir tamén outras normas, mais pódese demostrar que serán equivalentes.

Norma matricialEditar

Se o espazo vectorial considerado é o formado polas matrices reais ou complexas de orde  , denotado por  , unha norma sobre ese espazo é chamada de norma matricial.

Un exemplo de norma matricial é a norma 1, denotada   definida como o máximo da suma módulo dos elementos de cada liña, ou sexa se   entón a norma do máximo da matriz   é o número non negativo dado por

 

A norma do máximo da matriz  , por exemplo, é[3]

 

Normas en espazos de dimensión infinitaEditar

Espazos LPEditar

Artigo principal: Espazo Lp.

As normas   teñen análogos nalgúns espazos de dimensión infinita.

NotasEditar

  1. SANTOS (2010), p.3, ex. 54.
  2. SANTOS (2010), p.60.
  3. Boldrini et. al, p. 342.

Véxase taménEditar

BibliografíaEditar

  • Santos, José Carlos (xuño de 2010). Introduçión à Topologia (PDF). Porto: Departamento de Matemática - Faculdade de Ciencias da Universidade do Porto. p. 171. 
  • Boldrini, José Luiz et. al. Álgebra Linear (3ª ed.). Harbra. p. 342. 

Outros artigosEditar