Abrir o menú principal

Aplicación linear

aplicación entre dous espazos vectoriais
(Redirixido desde "Transformación lineal")

DefiniciónEditar

Denomínase aplicación linear, función linear ou transformación linear a aplicación en que os seus dominio e codominio sexan espazos vectoriais que cumpra a seguinte definición:

Sexan   e   espazos vectoriais sobre o mesmo corpo  . Unha aplicación   de   en   é unha transformación linear se para todo par de vectores   e para todo escalar  , se satisfai que:
  1.  
  2.  .

ExemplosEditar

  1. A aplicación   que envía   en   (o seu conxugado) é unha transformación linear se se considera   como un  -espazo vectorial. Non obstante, non o é se se pensa como  -espazo vectorial, xa que  .
  2. Dado un espazo vectorial calquera, pódese definir a función identidade    , que resulta unha transformación linear.
  3. As homotecias:   con  . Se k > 1 denomínanse dilatacións e se k < 1 denomínanse contraccións.
  4. Dada unha matriz  , a función   definida como   é unha transformación linear. Grazas á matriz asociada, pódese concluír que calquera transformación linear definida entre espazos vectoriais de dimensión finita pode verse como multiplicar por unha matriz.
  5. Sexa   o conxunto de funcións continuas en   e defínase   mediante  , ocorre que:
 
e
  para  
Polo tanto, cúmprese que   e   para todo   e   en   e todo  , así que   é unha aplicación linear de   en  .[1]

Propiedades das transformacións linearesEditar

Sexan   e   espazos vectoriais sobre   (onde   representa o corpo), satisfaise que: Se   é linear, defínese o núcleo (ker) e a imaxe (Im) de   como:


 
 

É dicir, que o núcleo dunha transformación linear está formado polo conxunto de todos os vectores do dominio que teñen por imaxe o vector nulo do codominio.

O núcleo de toda transformación linear é un subespazo vectorial do dominio:

  1.   dado que   (para probar isto, obsérvese que  ).
  2. Dados  
  3. Dados  

Denomínase nulidade á dimensión do núcleo.  

A imaxe dunha transformación linear está formada polo conxunto de todos os vectores do codominio que son imaxe de polo menos algún vector do dominio.

  • A imaxe de toda transformación linear é un subespazo do codominio.
  • O rango dunha transformación linear é a dimensión da imaxe.
 

Obtención de novas transformacións lineares a partir doutras dadasEditar

Se f1:   e f2:   son lineares, entón tamén o é a súa suma f1+f2 (definida como (f1+f2)(x)=f1(x)+f2(x)).

Se f :   é linear e a é un elemento do corpo K, entón a función af, definida como (af)(x) = a(f(x)), tamén é linear.

Grazas a estas dúas propiedades, e a que a función que envía todo ao elemento nulo é unha aplicación linear, é que o conxunto de transformacións lineares f:   forma un subespazo das funcións de   en W. A este subespazo denótase L( , ) ou Hom( , ). A dimensión de L( , ) é igual ao produto das dimensións de   e  .

Se f:   e g:   son lineares entón a súa composición gf:   tamén o é.

Dado un espazo vectorial  , o espazo vectorial L( , ), que adoita denotarse End( ), forma unha álxebra asociativa sobre o corpo base, onde a multiplicación é a composición e a unidade é a transformación identidade.

Se f:   é unha transformación linear bixectiva, entón a súa inversa tamén é transformación linear.

Teoremas básicos das transformaciónsEditar

  • Sexa B = {vi: iJ} base de   e C = {wi: iJ} unha colección de vectores de   non necesariamente distintos, entón existe unha única transformación linear T: V → W que satisfai:
 
  • Sexa   unha transformación linear.
entón  

Como corolario básico deste teorema, obtense que unha transformación linear dun espazo vectorial de dimensión finita nel mesmo é un isomorfismo se e só se é un epimorfismo se e só se é un monomorfismo.

Clasificación das transformacións linearesEditar

  • Funcional linear: So as transformación lineares   (onde   é o corpo base de V).
  • Monomorfismo: Se   é inxectiva; equivalentemente, se o único elemento do núcleo é o vector nulo.  
  • Epimorfismo: Se   é sobrexectiva.
  • Isomorfismo: Se   é bixectiva (inxectiva e sobrexectiva)
  • Endomorfismo: Transformación linear en que dominio e codominio coinciden.
  • Automorfismo: Endomorfismo bixectivo.

Matriz asociada a unha transformación linearEditar

Se   e   teñen dimensión finita e se teñen escollidas bases en cada un dos espazos, entón toda transformación linear de   en   pode representarse por unha matriz. Reciprocamente, toda matriz representa unha transformación linear.

Sexan  :   unha transformación linear, B={v1, ..., vn} unha base de  , C={w1, ..., wm} base de  . Para calcular a matriz asociada a   bas bases B e C cómpre calcular  (vi) para cada i=1,...,n e escribilo como combinación linear da base C:  (v1)=a11w1+ ...+am1 wm, ...,  (vn)=a1nw1+ ...+amn wm.

A matriz asociada denótase C[T]B e é:

  .

Como un vector de   se escribe de forma única como combinación linear de elementos de C, a matriz é única.

Como dada calquera escolla de u1, ..., un existe e é única a transformación linear que envía vi en ui, entón, dada A calquera matriz m×n, existe e é única a transformación linear  :   tal que C [T] B=A.

Ademais, as matrices asociadas cumpren que C [aT+bS] B = a C [T] B + b C [S] B para calquera a,b∈ℝ, T,SL(V,W). Por isto, a aplicación que fai corresponder cada transformación linear coa súa matriz asociada é un isomorfismo entre L( , ) e Mn×mC (K).

De restrinxirse ao caso  = , C=B, tense ademais que esta aplicación é un isomorfismo entre álxebras.

NotasEditar

  1. "Álgebra lineal y matrices" (1989) Herstein y Winter ISBN 968-7270-52-7; pág. 331

Véxase taménEditar

BibliografíaEditar

Outros artigosEditar

Ligazóns externasEditar