Para outras páxinas con títulos homónimos véxase:
Distribución .
Distribución χ² (khi cadrado)
Función de densidade Función de distribución Parámetros
k > 0 {\displaystyle k>0\,} graos de liberdade
Soporte
x ∈ [ 0 ; + ∞ ) {\displaystyle x\in [0;+\infty )\,}
Función de densidade
( 1 / 2 ) k / 2 Γ ( k / 2 ) x k / 2 − 1 e − x / 2 {\displaystyle {\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}\,}
Función de distribución
Γ ( k / 2 , x / 2 ) Γ ( k / 2 ) {\displaystyle {\frac {\Gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}\,}
Media
k {\displaystyle k\,}
Mediana
aproximadamente k − 2 / 3 {\displaystyle k-2/3\,}
Moda
k − 2 {\displaystyle k-2\,} if k ≥ 2 {\displaystyle k\geq 2\,}
Varianza
2 k {\displaystyle 2\,k\,}
Asimetría
8 / k {\displaystyle {\sqrt {8/k}}\,}
Curtose
12 / k {\displaystyle 12/k\,}
Entropía
k 2 + ln ( 2 Γ ( k / 2 ) ) + ( 1 − k / 2 ) ψ ( k / 2 ) {\displaystyle {\frac {k}{2}}\!+\!\ln(2\Gamma (k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi (k/2)}
F. xeradora de momentos
( 1 − 2 t ) − k / 2 {\displaystyle (1-2\,t)^{-k/2}} for 2 t < 1 {\displaystyle 2\,t<1\,}
Func. caract.
( 1 − 2 i t ) − k / 2 {\displaystyle (1-2\,i\,t)^{-k/2}\,}
A distribución khi cadrado (χ ² ), chamada tamén distribución de Pearson é unha distribución de probabilidade continua cun parámetro k {\displaystyle k} que representa os graos de liberdade da variable aleatoria :
X = Z 1 2 + ⋯ + Z k 2 {\displaystyle X=Z_{1}^{2}+\cdots +Z_{k}^{2}}
Onde Z i {\displaystyle Z_{i}} son variables aleatorias normais independentes de media cero e varianza un. Se a variable aleatoria X {\displaystyle X} segue esta distribución represéntase habitualmente X ∼ χ k 2 {\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}} .
Función de densidade
editar
A súa función de densidade é:
f ( x ; k ) = { 1 2 k / 2 Γ ( k / 2 ) x ( k / 2 ) − 1 e − x / 2 para x > 0 , 0 para x ≤ 0 {\displaystyle f(x;k)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\,x^{(k/2)-1}e^{-x/2}&{\text{para }}x>0,\\0&{\text{para }}x\leq 0\end{cases}}} onde Γ {\displaystyle \Gamma } é a función gamma .
Demostración
editar
A función densidade de X 1 = Z 2 {\displaystyle X_{1}=Z^{2}} se Z é tipo N(0,1) vén dada por
P ( x , x + d x ) = f ( x 1 ) d x 1 = 1 2 π e − z 2 / 2 d z {\displaystyle P(x,x+dx)=f(x_{1})dx_{1}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-z^{2}/2}dz}
Despexando e tendo en conta as contribucións positivas e negativas de z
f ( x 1 ) = 1 2 π e − x 1 / 2 x 1 − 1 2 {\displaystyle f(x_{1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x_{1}/2}x_{1}^{-{\frac {1}{2}}}}
A función distribución de X = X 1 + X 2 + . . . + X n {\displaystyle X=X_{1}+X_{2}+...+X_{n}} vén dada pola súa convolución
f ( x ; k ) = f ( x 1 ) ∗ f ( x 2 ) ∗ . . . ∗ f ( x k ) {\displaystyle f(x;k)=f(x_{1})*f(x_{2})*...*f(x_{k})}
Aplicando a transformada de Laplace
L { f ( x ; k ) } = ( L { f ( x 1 ) } ) k = 1 ( 2 ( s + 1 2 ) ) k 2 {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(x;k)\right\}=({\mathcal {L}}\left\{f(x_{1})\right\})^{k}={\frac {1}{(2(s+{\frac {1}{2}}))^{\frac {k}{2}}}}}
Aplicando a antitransformada obtense f(x;k)
f ( x ; k ) = L − 1 { 1 ( 2 ( s + 1 2 ) ) k 2 } = 1 2 k / 2 Γ ( k / 2 ) x ( k / 2 ) − 1 e − x / 2 {\displaystyle f(x;k)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{(2(s+{\frac {1}{2}}))^{\frac {k}{2}}}}\right\}={\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\,x^{(k/2)-1}e^{-x/2}}
Función de distribución
editar
A súa función de distribución é
F k ( x ) = γ ( k / 2 , x / 2 ) Γ ( k / 2 ) {\displaystyle F_{k}(x)={\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}}
onde γ ( k , z ) {\displaystyle \ \gamma (k,z)} é a función gamma incompleta .
O valor esperado e a varianza dunha variable aleatoria X con distribución χ² son, respectivamente, k e 2k .
Relación con outras distribucións
editar
A distribución χ² é un caso especial da distribución gamma . De feito, X ∼ Γ ( k 2 , θ = 2 ) . {\displaystyle X\sim \Gamma \left({\frac {k}{2}},\theta =2\right).}
Como consecuencia, cando k = 2 {\displaystyle k=2} , a distribución χ² é unha distribución exponencial de media k = 2 {\displaystyle k=2} .
Se k é suficientemente grande, como consecuencia do teorema central do límite , pode aproximarse por unha distribución normal :
lim k → ∞ χ k 2 ( x ) k = N ( 1 , 2 / k ) ( x ) {\displaystyle \lim _{k\to \infty }{\frac {\chi _{k}^{2}(x)}{k}}=N_{(1,{\sqrt {2/k}})}(x)}
A distribución χ² ten moitas aplicacións en inferencia estatística . A máis coñecida é a denominada proba χ² , empregada como proba de independencia e como proba da bondade do axuste e na estimación de varianzas. Tamén aparece no problema de estimar a media dunha poboación normalmente distribuída e no problema de estimar a pendente dunha recta de regresión linear , a través do seu papel na distribución t de Student .
Aparece tamén en todos os problemas da análise da varianza pola súa relación coa distribución F de Snedecor, que é a distribución do cociente de dúas variables aleatorias independentes con distribución χ².
Véxase tamén
editar