Circunferencia goniométrica

A circunferencia goniométrica[1], trigonométrica, unitaria, é unha circunferencia de raio [2], normalmente co seu centro na orixe dun sistema de coordenadas, dun plano euclidiano ou complexo. Devandita circunferencia utilízase co fin de poder estudar facilmente as razóns trigonométricas e funcións trigonométricas, mediante a representación de triángulos rectángulos auxiliares.

A circunferencia goniométrica e o triángulo rectángulo asociado.

Se é un punto da circunferencia unidade do primeiro cuadrante, entón x e y son as lonxitudes dos catetos dun triángulo rectángulo cuxa hipotenusa ten lonxitude . Aplicando o Teorema de Pitágoras, e satisfán a seguinte ecuación: .

Funcións trigonométricas na circunferencia unitariaEditar

Se   é un punto da circunferencia unidade, e o raio que ten a orixe en   forma un ángulo   co eixo  , as principais funcións trigonométricas pódense representar como razón de segmentos asociados a triángulos rectángulos auxiliares, da seguinte maneira:

O seno é a razón entre o cateto oposto ( ) e a hipotenusa ( )

 

e dado que a hipotenusa é igual ao raio, que ten valor  , dedúcese:

 

O coseno é a razón entre o cateto adxacente ( ) e a hipotenusa ( )

 

e como a hipotenusa ten valor  , dedúcese:

 

A tanxente é a razón entre o cateto oposto e o adxacente

 
 
Principais valores das razóns trigonométricas representados como segmentos respecto da circunferencia goniométrica.
 
Valores dos ángulos máis comúns e as coordenadas correspondentes sobre a circunferencia goniométrica.

Por semellanza de triángulos:  e como   dedúcese que   e, por tanto,  .

Funcións trigonométricas recíprocasEditar

A cosecante, a secante e a cotanxente, son as razóns trigonométricas recíprocas do seno, coseno e tanxente:

 
 
 

Os valores da cotanxente, a secante e a cosecante obtéñense, analogamente, mediante semellanza de triángulos.

TopoloxíaEditar

En topoloxía, a circunferencia unitaria (tamén denominada disco unidade) clasifícase como  ; a xeralización para unha dimensión máis é a esfera unidade  [3].

Grupo circularEditar

Os números complexos pódense identificar con puntos do plano euclidiano, é dicir, o número   identifícase co punto  . Baixo esta identificación, a circunferencia goniométrica trátase dun grupo coa operación de multiplicación, denominado grupo circular e usualmente denotado como 𝕋. Este grupo ten aplicacións moi importantes nas matemáticas e na ciencia.

NotasEditar

  1. Definicións no Dicionario da Real Academia Galega e no Portal das Palabras para goniometría.
  2. Weisstein, Eric W. "Unit Circle". mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado o 5 de maio de 2020. 
  3. Weisstein, Eric W. "Hypersphere". mathworld.wolfram.com (en inglés). Consultado o 6 de maio de 2020. 

Véxase taménEditar

Outros artigosEditar