Divisor
En matemáticas, un divisor dun número enteiro tamén chamado factor de é un número enteiro que se pode multiplicar por algún número enteiro para producir [1] Neste caso, tamén se di que é múltiplo de Un número enteiro é divisible por outro número enteiro se é un divisor de ; isto implica que ao dividir por non temos un resto.
Definición
editarUn número enteiro é divisible por un número enteiro distinto de cero se existe un número enteiro tal que A nomenclatura habitual é
En latex sería "m \mid n".
Isto pódese ler así divide a é un divisor de é un factor de ou é múltiplo de Se non divide a daquela a notación é [2] [3]
Que en latex sería "m \not\mid n".
Xeral
editarOs divisores poden ser tanto negativos como positivos, aínda que moitas veces o termo está restrinxido a divisores positivos. Por exemplo, hai seis divisores de 4, que son 1, 2, 4, −1, −2 e −4, pero só se mencionarían os positivos (1, 2 e 4).
1, -1, e coñécense como divisores triviais de Un divisor de que non é un divisor trivial coñécese como un divisor non trivial (ou divisor estrito [4]). Un número enteiro distinto de cero con polo menos un divisor non trivial coñécese como número composto, mentres que as unidades −1 e 1 e os números primos non teñen divisores non triviais.
Os divisores propios son todos menos o número en si e o seu negativo, para o exemplo de 4 e tendo en conta só os divisores positivos, o 1 e o 2 son os divisores propios.
Existen regras de divisibilidade que permiten recoñecer certos divisores dun número a partir dos díxitos do número.
Exemplos
editar- 7 é un divisor de 42 porque así podemos dicir Tamén se pode dicir que 42 é divisible por 7, 42 é múltiplo de 7, 7 divide 42 ou 7 é un factor de 42.
- Os divisores non triviais de 6 son 2, − 2, 3, − 3.
- Os divisores positivos de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
- Os divisores positivos propios de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21.
- O conxunto de todos os divisores positivos de 60, parcialmente ordenado pola divisibilidade, ten o diagrama de Hasse:
Outras nocións e feitos
editarAlgunhas regras elementais:
- Se e entón é dicir, a divisibilidade é unha relación transitiva.
- Se e entón ou
- Se e entón cúmprese que , igual para a resta
Se e entón [a] Isto denómínase lema de Euclides.
Se é un número primo e entón ou
Un número enteiro cuxo único divisor propio é 1 chámase número primo.
Calquera divisor positivo de é un produto de divisores primos de elevado a algunha potencia. Esta é unha consecuencia do teorema fundamental da aritmética .
Un número dise que é perfecto se é igual á suma dos seus divisores propios, deficiente se a suma dos seus divisores propios é menor que e abundante se esta suma supera
O número total de divisores positivos de é unha función multiplicativa no caso de e seren relativamente primos, entón Por exemplo, ; Os oito divisores de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 e 42. Esta función tamén se pode escribir como a número cero das funcións sigma
A suma dos divisores positivos de é outra función multiplicativa (p. ex ). Esta última coñécese como función divisor e cada subíndice de sigma representa a potencia dos divisores cos que se fai a suma, por iso , pois os divisores elevados a cero é igual que contalos.
Se a factorización de está dada polos primos
daquela o número de divisores positivos de é
e cada un dos divisores ten a forma
onde para cada
Para cada número natural temos
En álxebra abstracta
editarTeoría de aneis
editar- Artigo principal: Divisibilidade (anel).
Retícula de división
editar- Artigo principal: Retícula de división.
Nas definicións que permiten que o divisor sexa 0, a relación de divisibilidade converte o conxunto de enteiros non negativos nun conxunto parcialmente ordenado que é unha retícula distributiva completa. O elemento maior desta retícula é 0 e o menor é 1. A operación de encontro ∧ ven dada polo máximo común divisor e a operación de unión ∨ polo mínimo común múltiplo. Esta retícula é isomorfa ao dual da retícula de subgrupos do grupo cíclico infinito Z.
Notas
editar- ↑ refírese ao máximo común divisor, siglas en inglés.
Véxase tamén
editarBibliografía
editar- Durbin, John R. (2009). Modern Algebra: An Introduction (6th ed.). New York: Wiley. ISBN 978-0470-38443-5.
- Guy, Richard K. (2004). Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed.). Springer Verlag. ISBN 0-387-20860-7.; section B
- Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1960). An Introduction to the Theory of Numbers (4th ed.). Oxford University Press.
- Herstein, I. N. (1986). Abstract Algebra. New York: Macmillan Publishing Company. ISBN 0-02-353820-1.
- Niven, Ivan; Zuckerman, Herbert S.; Montgomery, Hugh L. (1991). An Introduction to the Theory of Numbers (5th ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-62546-9.
- Øystein Ore, Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
- Sims, Charles C. (1984). Abstract Algebra: A Computational Approach. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-09846-9.
- Tanton, James (2005). Encyclopedia of mathematics. New York: Facts on File. ISBN 0-8160-5124-0. OCLC 56057904.
Outros artigos
editar- Funcións aritméticas
- Algoritmo euclidiano
- Fracción (matemáticas)
- Factorización de enteiros
- Táboa de factores primos – unha táboa de factores primos de 1 a 1000
- Divisor unitario
- Regras de Divisibilidade