Función divisor

función aritmética relacionada cos divisores dun enteiro

En matemáticas, e concretamente na teoría de números, unha función divisor é unha función aritmética relacionada cos divisores dun número enteiro. Aparece en varias identidades notables, incluíndo relacións coa función zeta de Riemann e a serie de Eisenstein de formas modulares. As funcións divisor foron estudadas por Ramanujan, que deu unha serie de congruencias e identidades importantes; estas son tratados por separado no artigo Suma de Ramanujan (de momento en inglés).

Función divisor σ0 (n) ata n = 250
Función sigma σ1 (n) ata n = 250

Unha función relacionada é a función sumatorio da función divisor, .


Definición

editar

A función suma de divisores positivos σz(n), para un número real ou complexo z, defínese como a suma das potencias z-ésimas dos divisores positivos de n. Pódese expresar como

 ,

onde   é a abreviatura de "d divide a n". O número de divisores é   (secuencia A000005 na OEIS) e a suma de divisores é  ,[1] [2] moitas veces omitindo o subíndice polo que σ(n) é o mesmo que σ1(n) (secuencia A000203 na OEIS).

Nomenclatura

editar

Hai que ter coidado coa nomenclatura desta función e outras relacionadas cos divisores, tendo en conta tamén os usos en varios idiomas. Hai fundamentalmente 3 funcións relacionadas,

  •  : función número de divisores. Dá o número de divisores e coincide con  . Fálase dela no artigo divisor.
  •  : función suma de divisores positivos.É a función tratada neste artigo. É a función que suma os valores das potencias z dos divisores.   escríbese moitas veces sen subíndice e representa a suma dos divisores.
  •  : función sumatorio da función divisor. Que dá como valor o sumatorio do número de divisores   para os n menores que x.

Para a función suma de divisores positivos úsase frecuentemente o reducido función divisor, en francés denomínase de xeito moi descritivo "Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs" e en italiano "funzione sigma", na maioría de resto de linguas denomínase "función divisor".

Para a función "número de divisores", úsase aproximadamente esa mesma nomenclatura mais as veces tamén a inclúen como función divisor, pola súa igualdade con  .

En canto a función sumatorio da función divisor non atopamos moitas referencias sendo en inglés "Divisor summatory function" e en español "Función suma de divisores".

Exemplos

editar

Por exemplo, σ0 (12) é o número dos divisores de 12:

 

mentres que σ1 (12) é a suma de todos os divisores:

 

e podemos ver tamén para a potencia 2

 

para a primeira potencia negativa temos

 

σ-1 ( n ) está relacionado co número abundante.

Para a función  , función sumatorio da función divisor, (secuencia A006218 na OEIS), que é o sumatorio do número de divisores   para i de 0 ata un número determinado n, temos por exemplo:  .

Táboa de valores

editar

Para  , os casos z = 2 a 5 están listados desde a (secuencia A001157 na OEIS) ata a (secuencia A001160 na OEIS), para z = 6 a 24 están listados desde a (secuencia A013954 na OEIS) ata a (secuencia A013972 na OEIS).

Propiedades

editar

Fórmulas para potencias de primos

editar

Para un número primo p,

 

porque por definición, os factores dun número primo son 1 e el mesmo. A maiores, se pn # denota o primorial (produto dos primeiros n primos), temos

 .

A función divisor é multiplicativa (xa que cada divisor c do produto mn con   corresponde claramente cun divisor a de m e un divisor b de n), mais non completamente multiplicativa,

 

A consecuencia disto é que, se escribimos

 

onde r = ω(n) é o número de factores primos distintos de n, pi é o i-ésimo factor primo e ai é a potencia máxima de pi pola cal n é divisible, daquela temos: [3]

 

que, cando x ≠ 0, é equivalente á útil fórmula: [3]

 

Cando x = 0,   é: [3]

 

Por exemplo, se n é 24, hai dous factores primos (p1 é 2 e p2 é 3); tendo en conta que 24 é o produto de 23 × 31, a1 é 3 e a2 é 1. Así podemos calcular   do seguinte modo:

 

Os oito divisores contados por esta fórmula son 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 e 24.

Outras propiedades e identidades

editar

Euler demostrou a notable recorrencia: [4] [5]

 

onde   cando acontece, e   para  , e   son pares consecutivos de números pentagonais xeneralizados ((secuencia A001318 na OEIS), comezando con desprazamento 1). De feito, Euler demostrou isto mediante a diferenciación logarítmica da identidade no seu teorema dos números pentagonais.

Tamén temos s (n) = σ (n) − n. Onde s(n) denota a suma dos divisores propios de n, é dicir, os divisores de n excluíndo o propio n . Esta función úsase para recoñecer números perfectos, que son os n tal que s(n) = n. Se s (n) > n, entón n é un número abundante, e se s (n) < n, entón n é un número deficiente.

Se n é unha potencia de 2,  , entón   e  , o que fai n case perfecto.

Como exemplo, para dous primos  , e sexa

  .

Daquela

 
 

e

 
 

onde   é a función totiente de Euler.

Entón, as raíces de

 

e podemos expresar p e q só en termos de σ (n) e φ (n), sen necesidade de coñecemento de  , como

 
 

En 1984, Roger Heath-Brown demostrou que a igualdade  

é certa para infinitos valores de n, consulte (secuencia A005237 na OEIS).

Relacións con series

editar

Dúas series de Dirichlet que inclúen a función divisor son: [3]

 

onde   é a función zeta de Riemann.

A serie para d(n) = σ0 (n) dá: [3]

 

e unha identidade de Ramanujan [3]

 

que é un caso especial da convolución de Rankin-Selberg .

Unha serie de Lambert que inclúe a función divisor é: [3]

 

para dous complexos arbitrarios |q| ≤ 1 e a. Esta suma tamén aparece como a serie de Fourier da serie de Eisenstein e as invariantes das funcións elípticas de Weierstrass .

Para  , hai unha representación explícita como serie coa suma de Ramanujan   como: [6]

 

O cálculo dos primeiros termos de   mostra as súas oscilacións arredor do "valor medio"  :

 
  1. Long (1972, p. 46)
  2. Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 58)
  3. 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 Hardy & Wright (2008).
  4. https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/175/, Découverte d'une loi tout extraordinaire des nombres par rapport à la somme de leurs diviseurs
  5. https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/542/, De mirabilis proprietatibus numerorum pentagonalium
  6. E. Krätzel (1981). Zahlentheorie. Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften. p. 130. 

Véxase tamén

editar

Bibliografía

editar

Outros artigos

editar

Ligazóns externas

editar