Función divisor
En matemáticas, e concretamente na teoría de números, unha función divisor é unha función aritmética relacionada cos divisores dun número enteiro. Aparece en varias identidades notables, incluíndo relacións coa función zeta de Riemann e a serie de Eisenstein de formas modulares. As funcións divisor foron estudadas por Ramanujan, que deu unha serie de congruencias e identidades importantes; estas son tratados por separado no artigo Suma de Ramanujan (de momento en inglés).
Unha función relacionada é a función sumatorio da función divisor, .
Definición
editarA función suma de divisores positivos σz(n), para un número real ou complexo z, defínese como a suma das potencias z-ésimas dos divisores positivos de n. Pódese expresar como
- ,
onde é a abreviatura de "d divide a n". O número de divisores é (secuencia A000005 na OEIS) e a suma de divisores é ,[1] [2] moitas veces omitindo o subíndice polo que σ(n) é o mesmo que σ1(n) (secuencia A000203 na OEIS).
Nomenclatura
editarHai que ter coidado coa nomenclatura desta función e outras relacionadas cos divisores, tendo en conta tamén os usos en varios idiomas. Hai fundamentalmente 3 funcións relacionadas,
- : función número de divisores. Dá o número de divisores e coincide con . Fálase dela no artigo divisor.
- : función suma de divisores positivos.É a función tratada neste artigo. É a función que suma os valores das potencias z dos divisores. escríbese moitas veces sen subíndice e representa a suma dos divisores.
- : función sumatorio da función divisor. Que dá como valor o sumatorio do número de divisores para os n menores que x.
Para a función suma de divisores positivos úsase frecuentemente o reducido función divisor, en francés denomínase de xeito moi descritivo "Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs" e en italiano "funzione sigma", na maioría de resto de linguas denomínase "función divisor".
Para a función "número de divisores", úsase aproximadamente esa mesma nomenclatura mais as veces tamén a inclúen como función divisor, pola súa igualdade con .
En canto a función sumatorio da función divisor non atopamos moitas referencias sendo en inglés "Divisor summatory function" e en español "Función suma de divisores".
Exemplos
editarPor exemplo, σ0 (12) é o número dos divisores de 12:
mentres que σ1 (12) é a suma de todos os divisores:
e podemos ver tamén para a potencia 2
para a primeira potencia negativa temos
σ-1 ( n ) está relacionado co número abundante.
Para a función , función sumatorio da función divisor, (secuencia A006218 na OEIS), que é o sumatorio do número de divisores para i de 0 ata un número determinado n, temos por exemplo: .
Táboa de valores
editarPara , os casos z = 2 a 5 están listados desde a (secuencia A001157 na OEIS) ata a (secuencia A001160 na OEIS), para z = 6 a 24 están listados desde a (secuencia A013954 na OEIS) ata a (secuencia A013972 na OEIS).
Propiedades
editarFórmulas para potencias de primos
editarPara un número primo p,
porque por definición, os factores dun número primo son 1 e el mesmo. A maiores, se pn # denota o primorial (produto dos primeiros n primos), temos
- .
A función divisor é multiplicativa (xa que cada divisor c do produto mn con corresponde claramente cun divisor a de m e un divisor b de n), mais non completamente multiplicativa,
A consecuencia disto é que, se escribimos
onde r = ω(n) é o número de factores primos distintos de n, pi é o i-ésimo factor primo e ai é a potencia máxima de pi pola cal n é divisible, daquela temos: [3]
que, cando x ≠ 0, é equivalente á útil fórmula: [3]
Cando x = 0, é: [3]
Por exemplo, se n é 24, hai dous factores primos (p1 é 2 e p2 é 3); tendo en conta que 24 é o produto de 23 × 31, a1 é 3 e a2 é 1. Así podemos calcular do seguinte modo:
Os oito divisores contados por esta fórmula son 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 e 24.
Outras propiedades e identidades
editarEuler demostrou a notable recorrencia: [4] [5]
onde cando acontece, e para , e son pares consecutivos de números pentagonais xeneralizados ((secuencia A001318 na OEIS), comezando con desprazamento 1). De feito, Euler demostrou isto mediante a diferenciación logarítmica da identidade no seu teorema dos números pentagonais.
Tamén temos s (n) = σ (n) − n. Onde s(n) denota a suma dos divisores propios de n, é dicir, os divisores de n excluíndo o propio n . Esta función úsase para recoñecer números perfectos, que son os n tal que s(n) = n. Se s (n) > n, entón n é un número abundante, e se s (n) < n, entón n é un número deficiente.
Se n é unha potencia de 2, , entón e , o que fai n case perfecto.
Como exemplo, para dous primos , e sexa
- .
Daquela
e
onde é a función totiente de Euler.
Entón, as raíces de
e podemos expresar p e q só en termos de σ (n) e φ (n), sen necesidade de coñecemento de , como
En 1984, Roger Heath-Brown demostrou que a igualdade
é certa para infinitos valores de n, consulte (secuencia A005237 na OEIS).
Relacións con series
editarDúas series de Dirichlet que inclúen a función divisor son: [3]
onde é a función zeta de Riemann.
A serie para d(n) = σ0 (n) dá: [3]
e unha identidade de Ramanujan [3]
que é un caso especial da convolución de Rankin-Selberg .
Unha serie de Lambert que inclúe a función divisor é: [3]
para dous complexos arbitrarios |q| ≤ 1 e a. Esta suma tamén aparece como a serie de Fourier da serie de Eisenstein e as invariantes das funcións elípticas de Weierstrass .
Para , hai unha representación explícita como serie coa suma de Ramanujan como: [6]
O cálculo dos primeiros termos de mostra as súas oscilacións arredor do "valor medio" :
Notas
editar- ↑ Long (1972, p. 46)
- ↑ Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 58)
- ↑ 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 Hardy & Wright (2008).
- ↑ https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/175/, Découverte d'une loi tout extraordinaire des nombres par rapport à la somme de leurs diviseurs
- ↑ https://scholarlycommons.pacific.edu/euler-works/542/, De mirabilis proprietatibus numerorum pentagonalium
- ↑ E. Krätzel (1981). Zahlentheorie. Berlin: VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften. p. 130.
Véxase tamén
editarBibliografía
editar- Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009). Superabundant numbers and the Riemann hypothesis (PDF). American Mathematical Monthly 116. pp. 273–275. doi:10.4169/193009709X470128. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2014-04-11..
- Bach, Eric; Shallit, Jeffrey, Algorithmic Number Theory, volume 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5, see page 234 in section 8.8.
- Caveney, Geoffrey; Nicolas, Jean-Louis; Sondow, Jonathan (2011). Robin's theorem, primes, and a new elementary reformulation of the Riemann Hypothesis (PDF). INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory 11. pp. A33. Bibcode:2011arXiv1110.5078C. arXiv:1110.5078.
- Choie, YoungJu; Lichiardopol, Nicolas; Moree, Pieter; Solé, Patrick (2007). On Robin's criterion for the Riemann hypothesis. Journal de théorie des nombres de Bordeaux 19. pp. 357–372. ISSN 1246-7405. MR 2394891. Zbl 1163.11059. arXiv:math.NT/0604314. doi:10.5802/jtnb.591.
- Gioia, A. A.; Vaidya, A. M. (1967). Amicable numbers with opposite parity. The American Mathematical Monthly 74. pp. 969–973. JSTOR 2315280. MR 220659. doi:10.2307/2315280.
- Grönwall, Thomas Hakon (1913). Some asymptotic expressions in the theory of numbers. Transactions of the American Mathematical Society 14. pp. 113–122. doi:10.1090/S0002-9947-1913-1500940-6.
- Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers. Revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. MR 2445243. Zbl 1159.11001.
- Ivić, Aleksandar (1985). The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications. A Wiley-Interscience Publication. New York etc.: John Wiley & Sons. pp. 385–440. ISBN 0-471-80634-X. Zbl 0556.10026.
- Lagarias, Jeffrey C. (2002). An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis. The American Mathematical Monthly 109. pp. 534–543. ISSN 0002-9890. JSTOR 2695443. MR 1908008. arXiv:math/0008177. doi:10.2307/2695443.
- Long, Calvin T. (1972). Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.). Lexington: D. C. Heath and Company. LCCN 77171950.
- Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970). Elements of Number Theory. Englewood Cliffs: Prentice Hall. LCCN 77081766.
- Ramanujan, Srinivasa (1997). Highly composite numbers, annotated by Jean-Louis Nicolas and Guy Robin. The Ramanujan Journal 1. pp. 119–153. ISSN 1382-4090. MR 1606180. doi:10.1023/A:1009764017495.
- Robin, Guy (1984). Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. Neuvième Série 63. pp. 187–213. ISSN 0021-7824. MR 774171.
- Williams, Kenneth S. (2011). Number theory in the spirit of Liouville. London Mathematical Society Student Texts 76. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-17562-3. Zbl 1227.11002.
Outros artigos
editarLigazóns externas
editar- Weisstein, Eric W. "Divisor Function". MathWorld.
- Weisstein, Eric W. "Robin's Theorem". MathWorld.
- Elementary Evaluation of Certain Convolution Sums Involving Divisor Functions PDF of a paper by Huard, Ou, Spearman, and Williams. Contains elementary.