A divisibilidade é a capacidade dun número enteiro b ser divisible entre outro enteiro a (distinto de cero) se existe un terceiro enteiro c tal que b = a·c. Adóitase expresar da forma a|b, léndose a divide a b ou a é divisor de b, ou mesmo b é múltiplo de a. Por exemplo, 6 é divisible por 3, xa que 6 = 3·2; pero non é divisible entre 4, pois non existe un enteiro c tal que 6 = 4·c. Isto é, o resto da división euclídea (enteira) de 6 entre 4 non é cero. Véxase o algoritmo da división.

Todo número enteiro maior que 1 é divisible por 1 e por si mesmo. Os números que non admiten máis que estes dous divisores denomínanse números primos. Os que admiten máis de dous divisores chámanse números compostos.

Propiedades editar

Sexan a, b, c ∈ Z:

  • 1. 1|a, a|0, a|a.
  • 2. Se a|b e b|a, entón a = ±b.
  • 3. Se a|b e b|c, entón a|c.
  • 4. Se a|b, entón a|bx, x ∈ Z.
  • 5. Se a|b e a|c, entón a|(bx + cy), ∀x, y ∈ Z.
  • 6. Se a|b·c e mcd(a,b)=1, entón a|c

Criterios de divisibilidade editar

Os seguintes criterios permiten pescudar se un número é divisible por outro dun modo simple, sen necesidade de realizar unha división.

Número Criterio Exemplo
2 O número termina en cifra par. 378: porque "8" é par.
3 A suma das súa cifras é un múltiplo de 3. 480: porque 4+8+0 = 12 é múltiplo de 3.
4 O número formado polas dúas últimas cifras é 00 ou múltiplo de 4. 7324: porque 24 é múltiplo de 4.
5 A última cifra es 0 ou 5. 485: porque acaba en 5.
6 O número é divisible entre 2 e entre 3. 24: Ver criterios anteriores.
7 Para números de 3 cifras: Ó número formado polas dúas primeiras cifras réstaselle a última multiplicada por 2. Se o resultado é múltiplo de 7, o número orixinal tamén o é. 469: porque 46-2·9 = 28, que é múltiplo de 7.
Para números de máis de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras e aplicar o criterio de arriba a cada grupo. Sumar e restar alternativamente o resultado obtido en cada grupo e comprobar se o resultado final é un múltiplo de 7. 52176376: porque (37-12) - (17-12) + (5-4)= 25-5+1= 21 é múltiplo de 7.
8 O número formado polas tres últimas cifras é 000 ou múltiplo de 8. 27280: porque 280 é múltiplo de 8.
9 A suma das súas cifras é múltiplo de 9. 3744: porque 3+7+4+4= 18 é múltiplo de 9.
10 A última cifra é 0. 470: A última cifra é 0.
11 Súmanse as cifras do número, pares por un lado e impares por outro. Réstase o resultado das dúas sumas. Se o resultado é cero (0) ou un múltiplo de 11, o número é divisible por este. 49712: 9+7+1=17 · 4+2=6 · 17-6=11 → 11 é múltiplo de 11
12 O número é divisible por 3 e 4. 528: Ver criterios anteriores.
13 Para números de 3 cifras: Ó número formado polas dúas primeiras cifras súmaselle a última multiplicada por 4. Se o resultado é múltiplo de 13, o número orixinal tamén o é. 364: porque 36+4·4= 52 é múltiplo de 13.
Para números de máis de 3 cifras: Dividir en grupos de 3 cifras, sumar e restar alternativamente os grupos de dereita a esquerda e aplicar o criterio de arriba ó resultado obtido. Se é múltiplo de 13, o número orixinal tamén o é. 432549: porque 549-432 = 117, e 11 + 4·7 = 39, é múltiplo de 13.
14 O número é divisible entre 2 e 7. 224: Ver criterios anteriores
15 O número é divisible entre 3 e 5. 255: Ver criterios anteriores
16 O número formado polas catro últimas cifras é múltiplo de 16. 254176: porque 4176 é múltiplo de 16.
17 Ó número obtido ó suprimir a última cifra réstaselle esta última cifra multiplicada por 5, e debe ser múltiplo de 17. 493: porque 49-5·3 = 34 es múltiplo de 17.
18 O número é divisible entre 2 e 9. 576: Ver criterios anteriores
19 Ó número obtido ó suprimir a última cifra súmaselle esta última cifra multiplicada por 2, e debe ser múltiplo de 19. 323: porque 32+3·2 = 38 é múltiplo de 19.
20 O número acaba en cero e a penúltima cifra é par. 480: porque acaba en 0 e 8 é par.
21 O número é divisible entre 3 e 7. 231: Ver criterios anteriores
22 O número é divisible entre 2 e 11. 220: Ver criterios anteriores
24 O número é divisible entre 3 e 8. 480: Ver criterios anteriores
25 As dúas últimas cifras son 00 ou múltiplo de 25. 9325: porque acaba en 25
26 O número é divisible entre 2 e 13. 234: Ver criterios anteriores
28 O número é divisible entre 4 e 7. 336: Ver criterios anteriores
30 O número acaba en cero e a suma das súas cifras é un múltiplo de 3. 690: porque acaba en cero e 6+9+0 = 15, múltiplo de 3

Véxase tamén editar