Función limitada

En matemáticas, unha función $f$ definida nalgún conxunto $X$ con valores reais ou complexos denomínase limitada se o conxunto dos seus valores está limitado. Noutras palabras, existe un número real $M$ tal que

Unha ilustración esquemática dunha función limitada (vermello) e outra non limitada (azul). Intuitivamente, a gráfica dunha función limitada permanece dentro dunha banda horizontal, mentres que a gráfica dunha función non limitada non permanece.

$|f(x)|\leq M$

para todo $x$ en $X$. No caso contrario a función dise que é non limitada. 

Un caso especial importante é unha sucesión limitada, onde $X$ tómase como o conxunto $\mathbb {N}$ dos números naturais. Así unha secuencia $f=(a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )$ está limitada se existe un número real $M$ tal que

$|a_{n}|\leq M$

para cada número natural $n$. O conxunto de todas as secuencias limitadas forma o espazo das sucesións $l^{\infty }$.

A definición de limitado pódese xeneralizar a funcións $f:X\rightarrow Y$ tomando valores nun espazo máis xeral $Y$ ao esixir que a imaxe $f(X)$ sexa un conxunto limitado $Y$. 

Nocións relacionadas

Máis débil que o concepto de limitado é o concepto de limitado localmente. Unha familia de funcións limitadas pode estar limitada uniformemente.

Exemplos

• A función seno, $\sin :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ está limitada xa que $|\sin(x)|\leq 1$ para todas as $x\in \mathbb {R}$.
• A función $f(x)=(x^{2}-1)^{-1}$, definida para todos os $x$ reais agás para −1 e 1, non ten límites. A medida que $x$ se achega a −1 ou 1, os valores desta función aumentan en magnitude. Esta función pódese limitar se se restrinxe o seu dominio a, por exemplo, $[2,\infty )$ ou $(-\infty ,-2]$.
• A función ${\textstyle f(x)=(x^{2}+1)^{-1}}$, definida para todos os $x$ reais, está limitada, xa que ${\textstyle |f(x)|\leq 1}$ para todos os $x$.
• A función trigonométrica inversa arco tanxente definida como: $y=\arctan(x)$ ou $x=\tan(y)$ é crecente para todos os números reais $x$ e limitados por $-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}$ radiáns
• Polo Teorema de Weierstrass, toda función continua nun intervalo pechado, como $f:[0,1]\rightarrow \mathbb {R}$, está limitada. De forma máis xeral, calquera función continua dun espazo compacto a un espazo métrico está limitada.
• Todas as funcións de valores complexos $f:\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ que son enteiras son ​​non limitadas ou constantes como consecuencia do Teorema de Liouville. En particular, a función complexa $\sin :\mathbb {C} \rightarrow \mathbb {C}$ debe ser non límitada xa que é enteira.
• A función $f$ que toma o valor 0 para $x$ número racional e 1 para $x$ número irracional (cf. Función de Dirichlet) está limitada. Así, unha función non precisa ter un aspecto usual para estar limitada. O conxunto de todas as funcións limitadas definidas en $[0,1]$ é moito maior que o conxunto das función continuas nese intervalo. Ademais, as funcións continuas non teñen por que estar limitadas; por exemplo, as funcións $g:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$ e $h:(0,1)^{2}\to \mathbb {R}$ definida por $g(x,y):=x+y$ e $h(x,y):={\frac {1}{x+y}}$ son ambos as dúas continuas, mais ningunha das dúas está limitada.(No entanto, unha función continua debe estar limitada se o seu dominio está pechado e limitado.)

Véxase tamén

Outros artigos

• Límite dunha función.
• Límite dunha sucesión.
• Conxunto limitado