Teorema de Weierstrass

a imaxe dunha función real nun intervalo pechado ten un máximo e un mínimo

En cálculo, o teorema de Weierstrass ou teorema do valor extremo indica que se unha función é continua no intervalo pechado e limitado , entón debe acadar un máximo e un mínimo, cada un deles polo menos unha vez. É dicir, existen números e en tal que:

Unha función continua no intervalo pechado que mostra o máximo absoluto (vermello) e o mínimo absoluto (azul).

O teorema do valor extremo úsase para demostrar o teorema de Rolle. Nunha formulación debida a Karl Weierstrass, este teorema afirma que unha función continua desde un espazo compacto non baleiro ata un subconxunto dos números reais alcanza un máximo e un mínimo.

Comparación co teorema da limitación

editar

O teorema de Weierstrass é máis específico que o teorema da limitación, co que está relacionado, este último só indica que unha función continua no intervalo pechado está limitada nese intervalo; é dicir, existen números reais e tal que:

Isto non di que e sexan necesariamente os valores máximos e mínimos de no intervalo que é o que estipula o teorema de Weierstrass.


Historia

editar

O teorema do valor extremo foi probado orixinalmente por Bernard Bolzano na década de 1830 nun traballo Teoría da función, pero o traballo permaneceu inédito ata 1930. A demostración de Bolzano consistiu en mostrar que unha función continua nun intervalo pechado estaba acotada, e despois mostrando que a función alcanzou un valor máximo e un valor mínimo. Ambas as dúas probas implicaron o que hoxe se coñece como Teorema de Bolzano–Weierstrass.[1]

Funcións ás que non se aplica o teorema

editar

Os seguintes exemplos mostran por que o dominio da función debe estar pechado e limitado para que se aplique o teorema. Cada un dos exemplos non alcanza un máximo no intervalo indicado.

  1.   definido sobre   non está limitado superiormente.
  2.   definido sobre   está limitado mais non alcanza o seu límite superior mínimo  .
  3.   definido sobre   non está limitado superiormente.
  4.   definido sobre   está limitado mais nunca alcanza o seu límite superior mínimo  .

Definir   nos dous últimos exemplos mostra que ambos os teoremas requiren continuidade en  .


  1. Rusnock, Paul; Kerr-Lawson, Angus (2005). "Bolzano e a continuidade uniforme". Historia Mathematica 32 (3): 303–311. doi:10.1016/j.hm.2004.11.003.