Subconxunto

conxunto que inclúe todos ou algúns elementos doutro conxunto

En matemáticas, un conxunto A é un subconxunto dun conxunto B se todos os elementos de A son tamén elementos de B; B é daquela un superconxunto de A. É posíbel que A e B sexan iguais; se son desiguais, entón A é un subconxunto propio de B. A relación dun conxunto sendo un subconxunto doutro chámase inclusión. A é un subconxunto de B tamén se pode expresar como B inclúe (ou contén) A ou A está incluído (ou contido) en B. Un k-subconxunto é un subconxunto con k elementos.

Diagrama de Euler
que mostra que
A é un subconxunto de B (indicado como ) e, pola contra, B é un superconxunto de A (indicado ).

A relación de subconxuntos define unha orde parcial en conxuntos. De feito, os subconxuntos dun conxunto dado forman unha álxebra de Boole baixo a relación de subconxuntos, coas operacións de intersección e unión, e a propia relación do subconxunto é a relación de inclusión booleana.

Definición

editar

Se A e B son conxuntos e cada elemento de A tamén é un elemento de B, daquela:

  • A é un subconxunto de B, denotado por  , ou equivalentemente,
  • B é un superconxunto de A, denotado por  

Se A é un subconxunto de B, pero A non é igual a B (é dicir, existe polo menos un elemento de B que non é un elemento de A ), daquela:

  • A é un subconxunto propio de B, denotado por  , ou equivalentemente,
  • B é un superconxunto propio de A, denotado por  

O conxunto baleiro, escrito   ou   é un subconxunto de calquera conxunto X e un subconxunto propio de calquera conxunto agás el mesmo, a relación de inclusión   é unha orde parcial no conxunto   (o conxunto de partes de S, o conxunto de todos os subconxuntos de S [1]) definido por  .

Cando se cuantifica,   represéntase como  [2]

Propiedades

editar
  • Un conxunto A é un subconxunto de B se e só se a súa intersección é igual a A.
Formalmente:
 
  • Un conxunto A é un subconxunto de B se e só se a súa unión é igual a B.
Formalmente:
 
  • Un conxunto finito A é un subconxunto de B, se e só se a cardinalidade da súa intersección é igual á cardinalidade de A.
Formalmente:
 

Exemplos de subconxuntos

editar
 
Os polígonos regulares forman un subconxunto dos polígonos.
  • O conxunto A = {1, 2} é un subconxunto propio de B = {1, 2, 3}, polo que ambas as expresións   e   son verdadeiras.
  • Calquera conxunto é un subconxunto de si mesmo, pero non un subconxunto propio. (   é certo, e   é falso para calquera conxunto X.)
  • O conxunto {x : x é un número primo maior que 10} é un subconxunto propio de {x : x é un número impar maior que 10}
  • O conxunto de números racionais é un subconxunto propio do conxunto de números reais. Neste exemplo, ambos os conxuntos son infinitos, pero o último conxunto ten unha cardinalidade maior que o conxunto anterior.

Outras propiedades da inclusión

editar
 
  e   implica  

A inclusión é a orde parcial canónica, no sentido de que todo conxunto parcialmente ordenado   é isomorfo a algunha colección de conxuntos ordenados por inclusión. Os números ordinais son un exemplo sinxelo: se cada n ordinal se identifica co conxunto   de todos os ordinais menores ou iguais a n, daquela   se e só se  

Para o conxunto das partes   dun conxunto S, a orde parcial de inclusión é, ata un isomorfismo de orde, o produto cartesiano de   (a cardinalidade de S) copias da orde parcial en   para o cal   Isto pódese ilustrar enumerando  , e asociando a cada subconxunto   (é dicir, cada elemento de  ) a k-tupla de   dos que a coordenada i é 1 se e só se   é membro de T.

  1. Weisstein, Eric W. "Subset". mathworld.wolfram.com. Consultado o 2020-08-23. 
  2. Rosen, Kenneth H. (2012). Discrete Mathematics and Its Applications (7th ed.). New York: McGraw-Hill. p. 119. ISBN 978-0-07-338309-5. 

Véxase tamén

editar

Bibliografía

editar

Outros artigos

editar

Ligazóns externas

editar