Intersección (conxuntos)

elementos comúns en varios conxuntos

En teoría de conxuntos, a intersección de dous conxuntos e denotado como [1] é o conxunto que contén todos os elementos de que tamén pertencen a ou viceversa.[2]

Notación e terminoloxía

editar

A intersección escríbese co símbolo " " entre os conxuntos, en notación infixa. Por exemplo:    A intersección de máis de dous conxuntos (intersección xeneralizada) pódese escribir como: .

Definición

editar
 
Intersección de tres conxuntos:
 
 
Exemplo de intersección con conxuntos

A intersección de dous conxuntos   e   denotado como  ,[3] é o conxunto de todos os obxectos que son membros de ambos os dous conxuntos   e   Con símbolos: É dicir,   é un elemento da intersección   se e só se   é tanto un elemento de   e un elemento de   [3]

Por exemplo:

  • A intersección dos conxuntos {1, 2, 3} e {2, 3, 4} é {2, 3}.
  • O número 9 non está na intersección do conxunto de números primos {2, 3, 5, 7, 11, ...} e do conxunto de números impares {1, 3, 5, 7, 9, 11, .. .}, porque 9 non é primo.

Conxuntos intersecantes e disxuntos

editar

Dicimos que   intersecta a   se existe algún   que é un elemento tanto de   como de  , nese caso tamén dicimos que   interxecta a  . De forma equivalente,   intersecta a   se a súa intersección   é un conxunto con algún elemento, expresado tamén como que existe algún   tal que  

Dicimos que   e   son disxuntos se   non se cruza con   En linguaxe sinxela, non teñen elementos en común.   e   son disxuntos se a súa intersección é baleiro, denotado  

Por exemplo, os conxuntos   e   son disxuntos, mentres que o conxunto de números pares cruza o conxunto de múltiplos de 3 en múltiplos de 6.

Propiedades alxébricas

editar

A intersección binaria é unha operación asociativa; é dicir, para calquera conxunto   e   temos Así, as parénteses poden omitirse sen ambigüidade: calquera das anteriores pódese escribir como  . A intersección tamén é conmutativa. É dicir, para calquera   e   un ten A intersección de calquera conxunto co conxunto baleiro dá como resultado o conxunto baleiro; é dicir, que para calquera conxunto  , Ademais, a operación de intersección é idempotente; é dicir, calquera conxunto   satisfai  .

A intersección é distributiva en relación á unión e a unión é distributiva en relación á intersección. É dicir, para calquera conxunto   e   temos Dentro dun universo   pódese definir o complemento   de   como o conxunto de todos os elementos de   que non están en   Ademais, a intersección de   e   poden escribirse como o complemento da unión dos seus complementos, obtido facilmente das leis de De Morgan: 

Interseccións arbitrarias

editar

Podemos xeneralizar a intersección a unha colección arbitraria de conxuntos non baleiros. Se   é un conxunto non baleiro cuxos elementos son eles mesmos conxuntos, entón   é un elemento da intersection de   se e só se para cada elemento   de     é un elemento de   Con símbolos: Tamén pódese escribir como:  , ou  , ou   e a maiores tamén   =   onde   é un conxunto non baleiro, e   é un conxunto para todos  , tamén pódese escribir como "  ".

  1. "Intersection". web.mnstate.edu. 
  2. "set rules". 
  3. 3,0 3,1 "Set operations". www.probabilitycourse.com. 

Véxase tamén

editar

Bibliografía

editar

Outros artigos

editar

Ligazóns externas

editar