Altura (triángulo)

En xeometría plana, a altura dun lado dun triángulo é cada un dos segmentos que unen un vértice cun punto do seu lado oposto ou da súa prolongación e é perpendicular a ese lado.

As tres alturas dun triángulo crúzanse no ortocentro, que para un triángulo agudo atópase dentro do triángulo.

Termos e caracterizacións

O extremo da altura que está na base ou a súa prolongación, denomínase pé da altura. A lonxitude da altura, a miúdo chamada "a altura", é a distancia entre a base estendida e o vértice. O proceso de debuxar a altura desde o vértice ao pé coñécese como "baixar a altura" desde ese vértice. É un caso especial de proxección.

As alturas pódense usar no cálculo da área dun triángulo: o semiproduto da lonxitude dunha altura e a lonxitude da súa base. Por tanto, a altura máis longa é perpendicular ao lado máis curto do triángulo, pois cada altura é inversamente proporcional ao seu respectivo lado. As alturas tamén están relacionadas cos lados do triángulo a través das funcións trigonométricas.

Nun triángulo rectángulo, as alturas de cada ángulo agudo coinciden cun cateto do triángulo, e intersecan o lado oposto (teñen o seu pé) no vértice do ángulo recto, que é o ortocentro.

Nun triángulo isóscele (un triángulo con dous lados congruentes), a altura que ten o lado incongruente como base terá o punto medio dese lado como o seu pé. Tamén a altura que ten o lado incongruente como a súa base será a bisectriz do ángulo do vértice.

É común marcar a altura coa letra $h$, a miúdo acompañada coa letra do lado sobre o que se levanta.

Nun triángulo rectángulo, a altura trazada sobre a hipotenusa $c$, divide a hipotenusa en dous segmentos de lonxitudes $p$ e $q$. Se se denomina a lonxitude da altura por $hc$, entón verifícase a relación

$h_{c}={\sqrt {pq}}$ (Teorema xeométrico principal)

As alturas de cada un dos ángulos agudos dun triángulo obtuso atópanse completamente fóra do triángulo, do mesmo xeito que o ortocentro H.

Para triángulos agudos e rectángulos, os pés das alturas caen todos sobre os lados do triángulo (non estendidos). Nun triángulo obtuso, o pé da altura desde o vértice do ángulo obtuso cae no interior ao lado oposto, pero os pés das alturas aos vértices dos ángulos agudos caen no lado estendido, no exterior ao triángulo. Isto ilústrase no diagrama adxacente: neste triángulo obtuso, unha altura trazada perpendicularmente desde o vértice superior, que ten un ángulo agudo, corta o lado horizontal estendido fóra do triángulo.

Ortocentro

As tres alturas (estendidas nalgúns casos) córtanse nun só punto, chamado ortocentro do triángulo, xeralmente denotado por H. O ortocentro atópase dentro do triángulo se e só se o triángulo é agudo (é dicir, non ten ángulo maior ou igual a un ángulo recto). Se un dos ángulos é recto, o ortocentro coincide co vértice deste ángulo.

Sexan A, B, C, os vértices e tamén os ángulos dun triángulo, e sexan $a=|BC|$, $b=|CA|$, $c=|AB|$ as lonxitudes dos lados. O ortocentro ten coordenadas trilineais

$\sec A:\sec B:\sec C=\cos A-\sin B\sin C:\cos B-\sin C\sin A:\cos C-\sin A\sin B,$

e coordenadas baricéntricas

$\displaystyle (a^{2}+b^{2}-c^{2})(a^{2}-b^{2}+c^{2}):(a^{2}+b^{2}-c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2}):(a^{2}-b^{2}+c^{2})(-a^{2}+b^{2}+c^{2})$

$=\tan A:\tan B:\tan C.$

Como as coordenadas baricéntricas son todas positivas para un punto no interior dun triángulo, pero polo menos unha é negativa para un punto no exterior, e dúas das coordenadas baricéntricas son cero para un punto de vértice, as coordenadas baricéntricas dadas para o ortocentro mostran que o ortocentro está no interior dun triángulo agudo, no vértice do ángulo recto dun triángulo rectángulo e no exterior a un triángulo obtuso.

Dado o plano complexo, sexan os puntos A, B e C, que representan respectivamente os números complexos $z_{A}$$z_{A}$$z_{A}$ z_A, $z_{B}$ z_B, e $z_{C}$z_C $z_{A}$ e supóñase que o circuncentro do triángulo ABC se atopa na orixe do plano. Entón, o número complexo

$z_{H}=z_{A}+z_{B}+z_{C}$

está representado polo punto H, é dicir, o ortocentro do triángulo ABC.

A partir disto, as seguintes caracterizacións do ortocentro H mediante vectores libres pódense establecer de maneira directa:

${\vec {OH}}=\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {OA}},\qquad 2\cdot {\vec {HO}}=\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyclic}}}{\vec {HA}}.$

A primeira das identidades vectoriais previas tamén se coñece como o "problema de Sylvester", proposto por James J. Sylvester.

Propiedades

Sexan D, E, e F os pés das alturas de A, B e C, respectivamente. Entón:

• O produto das lonxitudes dos segmentos nos que o ortocentro divide unha altura é o mesmo para as tres alturas:

$AH\cdot HD=BH\cdot HE=CH\cdot HF.$

O círculo centrado en H que ten por raio a raíz cadrada desta constante é o círculo polar do triángulo

• A suma dos cocientes (para as tres alturas) resultantes de dividir a distancia do ortocentro desde a base pola lonxitude da altura é 1: (Esta propiedade e a seguinte son aplicacións dunha propiedade máis xeral de calquera punto interior e do tres cevianas que o atravesan)

${\frac {HD}{AD}}+{\frac {HE}{BE}}+{\frac {HF}{CF}}=1.$

• A suma das relacións nas tres alturas da distancia do ortocentro desde o vértice á lonxitude da altura é 2:

${\frac {AH}{AD}}+{\frac {BH}{BE}}+{\frac {CH}{CF}}=2.$

• O conxugado isogonal do ortocentro é o circuncentro do triángulo.

• O conxugado isotómico do ortocentro é o punto simediano do triángulo anticomplementario.

• Catro puntos no plano, de modo que un deles é o ortocentro do triángulo formado polos outros tres, denomínanse un sistema ortocéntrico ou cuadrilátero ortocéntrico.

Relación con círculos e cónicas

Sexa R o circunradio dun triángulo. Entón

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}=12R^{2}.$

Sendo r o raio da circunferencia inscrita, e sendo r_a, r_b e r_c os raios das súas circunferencias exinscritas, e R de novo como o raio da súa circunferencia circunscrita, as seguintes relacións mantéñense con respecto ás distancias do ortocentro desde os vértices:

$r_{a}+r_{b}+r_{c}+r=AH+BH+CH+2R,$

$r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}=AH^{2}+BH^{2}+CH^{2}+(2R)^{2}.$

Se calquera altura, por exemplo, AD, se estende para intersecar a circunferencia circunscrita en P de modo que AP é unha corda da circunferencia, entón o pé D divide o segmento HP:

$HD=DP.$

As directrices de todas as parábolas que son tanxentes externamente ao lado dun triángulo e tanxentes ás extensións dos outros lados pasan polo ortocentro.

Unha circuncónica que pasa polo ortocentro dun triángulo é unha hipérbole.

Relación con outros centros, o círculo de nove puntos

O ortocentro H, o centroide G, o circuncentro O e o centro N da circunferencia dos nove puntos atópanse nunha soa liña, coñecida como recta de Euler.

O centro da circunferencia de nove puntos atópase no punto medio da liña de Euler, entre o ortocentro e o circuncentro, e a distancia entre o centroide e o circuncentro é a metade da existente entre o centroide e o ortocentro:

$OH=2NH,$

$2OG=GH.$

O ortocentro está máis próximo do incentro I que do centroide, e o ortocentro está máis afastado que o incentro do centroide:

$HI<HG,$

$HG>IG.$

En termos dos lados a, b, c, o raio da circunferencia inscrita r e o raio da circunferencia circunscrita R,

$OH^{2}=R^{2}-8R^{2}\cos A\cos B\cos C=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2}),$

$HI^{2}=2r^{2}-4R^{2}\cos A\cos B\cos C.$

Triángulo órtico

Triángulo abc (respectivamente, DEF no texto) é o triángulo órtico do triángulo ABC

Se o triángulo ABC é oblicuo (non contén un ángulo recto), o triángulo podal das alturas do triángulo orixinal chámase triángulo órtico ou triángulo de alturas. É dicir, os pés das alturas dun triángulo oblicuo forman o triángulo órtico DEF. Ademais, o incentro (o centro do círculo inscrito) do triángulo órtico DEF, coincide co ortocentro do triángulo orixinal ABC.

As coordenadas trilineais para os vértices do triángulo órtico veñen dadas por

• D = 0 : sec B : sec C
• E = sec A : 0 : sec C
• F = sec A : sec B : 0.

Os lados estendidos do triángulo órtico atópanse cos lados estendidos opostos do seu triángulo de referencia en tres puntos aliñados.

En calquera triángulo agudo, o triángulo inscrito co perímetro máis pequeno é o triángulo órtico. Esta é a solución ao problema de Fagnano, exposto en 1775.

Os lados do triángulo órtico son paralelos ás tanxentes á circunferencia circunscrita nos vértices do triángulo orixinal.

O triángulo órtico dun triángulo agudo dá unha ruta de luz triangular (un conxunto cíclico de tres reflexións).

As liñas tanxentes da circunferencia de nove puntos nos puntos medios dos lados de ABC son paralelas aos lados do triángulo órtico, formando un triángulo similar ao triángulo órtico.

O triángulo órtico está estreitamente relacionado co triángulo tanxencial, construído da seguinte maneira: sexan L_A a liña tanxente da circunferencia circunscrita do triángulo ABC no vértice A, e analogamente L_B e L_C. Sexan tamén A" = L_B ∩ L_C" = B" = L_C ∩ L_A = C" = L_C ∩ L_A

O triángulo tanxencial é A"B"C" cuxos seus lados son as tanxentes á circunferencia circunscrita ao triángulo A"B"C" nos seus vértices; é homotético ao triángulo órtico. O circuncentro do triángulo tanxencial e o centro de semellanza dos triángulos órtico e tanxencial están na recta de Euler.

As coordenadas trilineais para os vértices do triángulo tanxencial están dadas por

• A" = −a : b : c
• B" = a : −b : c
• C" = a : b : −c.

Para obter máis información sobre o triángulo órtico, véxase sistema ortocéntrico.

Algúns teoremas e resultados adicionais

Altura en función dos lados

Datos de traballo

Sexa o triángulo BAC, coa base BC = a, en posición horizontal, a altura h relativa ao lado a, un dos ángulos debe ser agudo, para o caso C < 90º; H, pé da altura AH = h no lado BC e HC = m, proxección ortogonal ao lado b sobre o lado a.

Execución dos pasos

Dos triángulos AHC e ABC resulta que se cumpre:

(1) $h^{2}=b^{2}-b^{2}$ segundo o teorema de Pitágoras

(2) $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\cdot m$ polo teorema do cadrado do lado oposto dun ángulo agudo

Despexando m de (2), substitúese en (1),

tendo h2 desenvólvese alxebricamente, usando diferenza de cadrados; finalmente, cando se ten no numerador catro factores lineais

$h^{2}={\frac {p(p-a)(p-b)(p-c)}{4a^{2}}}$

, sendo o semiperímetro

$p={\frac {a+b+c}{2}}$

áchase a

Fórmula da altura

$h={\frac {2}{a}}\times {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$

Área segundo Herón

Empregando a fórmula anterior aplícase ao cálculo de área triangular: $A_{\Delta }={\frac {ah}{2}}$ resulta a área do triángulo$A_{\Delta }={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$

As tres alturas

Preséntanse as alturas dos tres lados dun triángulo

1. altura do lado a:$\ h_{a}={\frac {2}{a}}\times {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$
2. altura do lado b:$\ h_{b}={\frac {2}{b}}\times {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$
3. altura do lado c:$\ h_{c}={\frac {2}{c}}\times {\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$

Facendo $\ \alpha =2{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}$

as igualdades inmediatas anteriores dan $h_{a}={\frac {\alpha }{a}};\ h_{b}={\frac {\alpha }{b}};\ h_{c}={\frac {\alpha }{c}}$

o que indica que as alturas son inversamente proporcionais aos seus respectivos lados.

Teorema do inradio

Considérese un triángulo arbitrario con lados a, b, c e coas correspondentes alturas h_a, h_b e h_c . As alturas e o radio da circunferencia inscrita r están relacionados por

$\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {1}{h_{a}}}+{\frac {1}{h_{b}}}+{\frac {1}{h_{c}}}.$

Teorema do circunradio

Denominando a altura desde un lado dun triángulo como h_a, os outros dous lados como b e c, e o raio da circunferencia circunscrita do triángulo como R, a altura vén dada por

$h_{a}={\frac {bc}{2R}}.$

Punto interior

Sendo p₁, p₂ e p₃ as distancias perpendiculares desde calquera punto P aos lados, e h₁, h₂ e h₃ as alturas aos lados respectivos, entón

${\frac {p_{1}}{h_{1}}}+{\frac {p_{2}}{h_{2}}}+{\frac {p_{3}}{h_{3}}}=1.$

Punto xeral nunha altura

Se E é calquera punto nunha altura AD dun triángulo ABC, entón

$AC^{2}+EB^{2}=AB^{2}+CE^{2}.$

Casos especiais de triángulos

Triángulo equilátero

Para calquera punto P dentro dun triángulo equilátero, a suma das perpendiculares ao tres lados é igual á altura do triángulo. Esta propiedade é coñecida como o teorema de Viviani.

Triángulo rectángulo

Nun triángulo rectángulo, as tres alturas h_a, h_b e h_c (as dúas primeiras son iguais ás lonxitudes dos catetos b e a, respectivamente) están relacionadas segundo

${\frac {1}{h_{a}^{2}}}+{\frac {1}{h_{b}^{2}}}={\frac {1}{h_{c}^{2}}}.$

Véxase tamén

Outros artigos

• Elementos notábeis dun triángulo
• Mediana (xeometría)

Bibliografía

• Altshiller-Court, Nathan (2007) [1952], College Geometry, Dover Publications
• Berele, Allan; Goldman, Jerry (2001), Geometry / Theorems and Constructions, Prentice Hall, ISBN 0-13-087121-4
• Johnson, Roger A. (2007) [1960], Advanced Euclidean Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-46237-0
• Smart, James R. (1998), Modern Geometries (5th edición), Brooks/Cole, ISBN 0-534-35188-3

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W. «alturae». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.
• Orthocenter of a triangle Con animación interactiva
• Demostración animada da construción do ortocentro Compás e regra.
• Fagnano's Problem por Jay Warendorff, Wolfram Demonstrations Project.