Abrir o menú principal

Fracción irredutible

(Redirixido desde "Fracción irredutíbel")

Unha fracción irredutible é unha fracción en que tanto o numerador como o denominador son números enteiros que non teñen divisores comúns fóra do 1 (e do -1 se se consideran os números negativos).[1] Noutras palabras, unha fracción ab é irredutible se e só se a e b son coprimos, é dicir, se a e b teñen como máximo común divisor o 1. En matemáticas avanzadas, fracción irredutible pode referirse a fracción alxébricas en que o numerador e o denominador son polinomios coprimos[2] Todos os números racionais positivos poden representarse mediante unha fracción irredutible de xeito único.[3]

En ocasións pode ser útil unha fracción equivalente: se a, b son enteiros, entón a fracción ab é irredutible se e só se non hai outra fracción cd equivalente tal que |c| < |a| ou |d| < |b|, onde |a| significa o valor absoluto de a.[4] (Dúas fraccións ab e cd son equivalente se e só se ad = bc.)

Por exemplo, 14, 56, e −101100 son fraccións irredutibles. Por outra banda, 24 non é irredutible xa que é equivalente a 12, e o numerador de 12 é menor que o numerador de 24.

Unha fracción pode ser simplificada dividindo o numerador e o denominador entre un factor común. Pode ser obtida a fracción irredutible se se dividen ambos os termos entre o máximo común divisor.[5] Para achar o máximo común divisor, pódense usar o algoritmo de Euclides ou a factorización en primos, mais o primeiro algoritmo adoita ser preferible ao non precisar factorizar números grandes para calculalo.[6]

ExemplosEditar

 

No primeiro paso dividíronse ambos os números entre 10, factor común de 120 e 90. No segundo paso, dividíronse entre 3. A solución final, 4/3, é unha fracción irredutible porque o único factor común de 4 e 3 é 1.

A fracción orixinal pode simplificarse nun só paso empregando o máximo común divisor de 90 e 120, que é 30 (i.e., mcd(90,120)=30):

 

UnicidadeEditar

Todo número racional ten unha representación única como fracción irredutible con denominador positivo[3] (non obstante,   aínda que ambas son irredutibles). A unicidade é consecuencia do descomposición única en factores primos dos enteiros, xa que   implica que ad = bc e polo tanto ambos membros da igualdade deben compartir a mesma factorización, e entón   e   non comparten factores primos, e o conxunto de factores primos de   (coa súa multiplicidade) é un subconxunto dos de   e viceversa, así que   e  .

AplicaciónsEditar

O feito de que calquera número racional ten unha representación única como fracción irredutible emprégase en varias probas da irracionalidade da raíz de 2 e doutros números irracionais. Por exemplo, unha proba indica que se a raíz cadrada de 2 puidese representarse como razón de enteiros, entón tería en particular unha representación simplificada   onde a e b son os menores posibles; pero xa que   é igual á raíz cadrada de 2, entón  . Dado que a primeira é a fracción irredutible, existe unha contradición, que procede da inexistencia de razón de dous enteiros.

XeneralizaciónEditar

A noción de fracción irredutible xeneralízase no corpo de fraccións de calquera dominio de factorización única: calquera elemento deste corpo pode ser descrito como unha fracción na que o denominador e numerador son coprimos, dividíndose ambos polo seu máximo común divisor.[7]

A fracción irredutible dun elemento dado é única agás a multiplicación do denominador e numerador polo mesmo elemento invertible. No caso dos números racionais, isto significa que calquera número ten dúas fraccións irredutíbeis, relacionadas por un cambio de signo do numerador e do denominador. Para evitar a ambigüidade, esta pódese eliminar fixando o denominador como positivo. No caso das funcións racionais, a ambigüidade elúdese se o denominador é sempre un polinomio mónico, é dicir, que o coeficiente do termo de maior grado é 1.[8]

NotasEditar

  1. "Fraction". Encyclopedia of Mathematics. Consultado o 20 de marzo de 2019. 
  2. Laudal, Olav Arnfinn; Piene, Ragni (2004). The Legacy of Niels Henrik Abel: The Abel Bicentennial, Oslo, June 3-8, 2002. Springer. p. 155. 
  3. 3,0 3,1 Scott, William (1844). Longman, Brown, Green, and Longmans, ed. Elements of Arithmetic and Algebra: For the Use of the Royal Military College. College text books, Sandhurst. Royal Military College 1. p. 75. .
  4. Scott (1844), p. 74.
  5. Sally, Judith D.; Sally, Paul J., Jr. (2012). "9.1. Reducing a fraction to lowest terms". En American Mathematical Society. Integers, Fractions, and Arithmetic: A Guide for Teachers. MSRI mathematical circles library 10. pp. 131–134. ISBN 9780821887981. .
  6. Scott, William (1844). Longman, Brown, Green, and Longmans, ed. Elements of Arithmetic and Algebra: For the Use of the Royal Military College. College text books, Sandhurst. Royal Military College 1. p. 75. .
  7. Garrett, Paul B. (2007). CRC Press, ed. Abstract Algebra. p. 183. ISBN 9781584886907. .
  8. Grillet, Pierre Antoine (2007). Springer, ed. Abstract Algebra. Graduate Texts in Mathematics 242. Lemma 9.2, p. 183. ISBN 9780387715681. .

Véxase taménEditar

Outros artigosEditar