Espazo medíbel

En matemáticas, un espazo medíbel ou espazo de Borel^[1] é un obxecto básico na teoría da medida. Consta dun conxunto e unha σ-álxebra, que definen os subconxuntos que se medirán.

Capta e xeneraliza nocións intuitivas como lonxitude, área e volume cun conxunto $X$ de 'puntos' no espazo, mais as rexións do espazo son os elementos da σ-álxebra, xa que as medidas intuitivas non adoitan definirse para os puntos. A álxebra tamén recolle as relacións que se poden esperar das rexións: que unha rexión pode definirse como unha intersección doutras rexións, unha unión doutras rexións ou o espazo completo con excepción doutra rexión.

Definición

Considere un conxunto $X$ e unha σ-álxebra ${\mathcal {F}}$ on $X.$ Daquela a tupla $(X,{\mathcal {F}})$ chámase espazo medíbel^[2]

Teña en conta que, a diferenza dun espazo de medida, non se precisa ningunha medida para un espazo medíbel.

Exemplo

Olle para o conxunto: $X=\{1,2,3\}.$ Unha posíbel $\sigma$ -álxebra sería: ${\mathcal {F}}_{1}=\{X,\varnothing \}.$ Entón $\left(X,{\mathcal {F}}_{1}\right)$ é un espazo medíbel. Outra posíbel $\sigma$ -álxebra sería o conxunto de partes de $X$ : ${\mathcal {F}}_{2}={\mathcal {P}}(X).$ Con isto, un segundo espazo medíbel no conxunto $X$ está dado por $\left(X,{\mathcal {F}}_{2}\right).$

Espazos medíbeis típicos

Se $X$ é finito ou numerablemente infinito, a $\sigma$ -álxebra é a maioría das veces o conxunto de partes de $X,$ así ${\mathcal {F}}={\mathcal {P}}(X).$ Isto leva ao espazo medíbel $(X,{\mathcal {P}}(X)).$

Se $X$ é un espazo topolóxico, a $\sigma$ -álxebra é frecuentemente a $\sigma$ -algebra de Borel ${\mathcal {B}},$ así ${\mathcal {F}}={\mathcal {B}}(X).$ Isto conduce ao espazo medíbel $(X,{\mathcal {B}}(X))$ que é típico para todos os espazos topolóxicos como por exemplo os números reais $\mathbb {R} .$

Ambigüidade cos espazos de Borel

O termo espazo Borel úsase para diferentes tipos de espazos medíbeis. Pode referirse a

calquera espazo medíbel, polo que é un sinónimo de espazo medíbel como se definiu anteriormente ^[1]
un espazo medíbel que é isomorfo de Borel a un subconxunto medíbel dos números reais (de novo coa $\sigma$ -álxebra de Borel)^[3]

Notas

↑ ^1,0 ^1,1 "Measurable space". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. Sazonov, V.V. (2001) [1994], "Measurable space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
↑ Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. p. 18. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3.
↑ Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Probability Theory and Stochastic Modelling 77. Switzerland: Springer. p. 15. ISBN 978-3-319-41596-3. doi:10.1007/978-3-319-41598-7.

Véxase tamén

Outros artigos

[eommeasurablespace-1] 1,0 ^1,1 "Measurable space". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. Sazonov, V.V. (2001) [1994], "Measurable space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press

[Klenke18-2] Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. p. 18. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3.

[Kallenberg15-3] Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Probability Theory and Stochastic Modelling 77. Switzerland: Springer. p. 15. ISBN 978-3-319-41596-3. doi:10.1007/978-3-319-41598-7.

[1]

[2]

[3]