En matemáticas, un espazo medíbel ou espazo de Borel[1] é un obxecto básico na teoría da medida. Consta dun conxunto e unha σ-álxebra, que definen os subconxuntos que se medirán.

Capta e xeneraliza nocións intuitivas como lonxitude, área e volume cun conxunto de 'puntos' no espazo, mais as rexións do espazo son os elementos da σ-álxebra, xa que as medidas intuitivas non adoitan definirse para os puntos. A álxebra tamén recolle as relacións que se poden esperar das rexións: que unha rexión pode definirse como unha intersección doutras rexións, unha unión doutras rexións ou o espazo completo con excepción doutra rexión.

Definición

editar

Considere un conxunto   e unha σ-álxebra   on   Daquela a tupla   chámase espazo medíbel[2]

Teña en conta que, a diferenza dun espazo de medida, non se precisa ningunha medida para un espazo medíbel.

Exemplo

editar

Olle para o conxunto:   Unha posíbel  -álxebra sería:   Entón   é un espazo medíbel. Outra posíbel  -álxebra sería o conxunto de partes de   :   Con isto, un segundo espazo medíbel no conxunto   está dado por  

Espazos medíbeis típicos

editar

Se   é finito ou numerablemente infinito, a  -álxebra é a maioría das veces o conxunto de partes de   así   Isto leva ao espazo medíbel  

Se   é un espazo topolóxico, a  -álxebra é frecuentemente a  -algebra de Borel   así   Isto conduce ao espazo medíbel   que é típico para todos os espazos topolóxicos como por exemplo os números reais  

Ambigüidade cos espazos de Borel

editar

O termo espazo Borel úsase para diferentes tipos de espazos medíbeis. Pode referirse a

  • calquera espazo medíbel, polo que é un sinónimo de espazo medíbel como se definiu anteriormente [1]
  • un espazo medíbel que é isomorfo de Borel a un subconxunto medíbel dos números reais (de novo coa  -álxebra de Borel)[3]
  1. 1,0 1,1 "Measurable space". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. Sazonov, V.V. (2001) [1994], "Measurable space", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
  2. Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. p. 18. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. 
  3. Kallenberg, Olav (2017). Random Measures, Theory and Applications. Probability Theory and Stochastic Modelling 77. Switzerland: Springer. p. 15. ISBN 978-3-319-41596-3. doi:10.1007/978-3-319-41598-7. 

Véxase tamén

editar

Outros artigos

editar