Medida (matemáticas)

En matemáticas, o concepto de medida é a generalización e formalización das medidas xeométricas e outras nocións como a probabilidade dos sucesos aleatorios. A medida é un concepto fundamental en teoría da medida e teoría da probabilidade.

Definición

Sexa $X$ un conxunto e $\Sigma$ unha $\sigma$-álxebra de conxuntos de $X$. Dada unha aplicación $\mu \colon \Sigma \to [0,\infty ]$ (ver: recta real estendida), diremos que é unha medida en $\Sigma$ se satisfan as seguintes propiedades:

• $\mu (\emptyset )=0.$
• Dado un conxunto numerable $\{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \Sigma$ con elementos disxuntos dous a dous, isto é, con $E_{i}\cap E_{j}=\emptyset$ para $i\neq j$, entón a medida da unión coincide coa suma das medidas, é dicir, $\mu \left(\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (E_{n}).$

Chamamos espacio de medida á terna $(X,\Sigma ,\mu )$.