Sigma-álxebra

Definición

Dado un conxunto non vacío $X$, dicimos que $\Sigma \subset {\mathcal {P}}(X)$ é unha $\sigma$-álxebra en $X$ se se satisfan as seguintes condicións:

• O conxunto vacío $\emptyset$ e o conxunto total $X$ son elementos de $\Sigma$.
• Dado un elemento $E\in \Sigma$, o seu conxunto complementario $E^{c}=X\setminus E$ tamén pertence a $\Sigma$.
• ($\sigma$-aditividade) Dado un conxunto numerable $\{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset \Sigma$, o conxunto unión $E=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }E_{n}$ tamén pertence a $\Sigma$.

Dado $X$ un conxunto e $\Sigma$ unha $\sigma$-álxebra en $X$, chamamos espacio medible ao par formado por $(X,\Sigma )$.

Propiedades das $\sigma$-álxebras

Sexa $(X,\Sigma )$ un espacio medible. Pódese demostrar que

• (Aditividade finita) Dado un conxunto finito $\{E_{k}\}_{k=1}^{n}$ de elementos de $\Sigma$, o conxunto unión (finita) $E=\bigcup _{k=1}^{n}E_{k}$ tamén é un elemento de $\Sigma$.
• Dado un conxunto numerable $\{E_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ de elementos de $\Sigma$, o conxunto intersección (numerable) $E=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }E_{n}$ tamén pertence a $\Sigma$. Desta propiedade dedúcese que tamén ocorre o mesmo para a intersección finita de elementos de $\Sigma$.
• Dados dous elementos $E,F$ de $\Sigma$, o conxunto $E\setminus F$ tamén pertence a $\Sigma$.

Exemplos de $\sigma$-álxebras

• Chamamos $\sigma$-álxebra trivial á $\sigma$-álxebra formada polo conxunto vacío e o total: $\Sigma =\{\emptyset ,X\}$. Trátase da $\sigma$-álxebra más pequena sobre $X$.

• A maior $\sigma$-álxebra posible sobre $X$ é o conxunto ${\mathcal {P}}(X)$. Calquera $\sigma$-álxebra $\Sigma$ sobre $X$ satisfai que $\{\emptyset ,X\}\subset \Sigma \subset {\mathcal {P}}(X)$.

• Dadas dúas $\sigma$-álxebras $\Sigma _{1}$ e $\Sigma _{2}$, a súa intersección $\Sigma _{1}\cup \Sigma _{2}$ é tamén unha $\sigma$-álxebra en $X$.

• Dado un subconxunto $A\subset X$, a menor $\sigma$-álxebra sobre $X$ que contén a $A$ é $\Sigma =\{\emptyset ,A,A^{c},X\}$.

• Dado ${\mathcal {S}}\subset {\mathcal {P}}(X)$, a menor $\sigma$-álxebra sobre $X$ que contén a ${\mathcal {S}}$ é a intersección de todas as $\sigma$-álxebras que conteñen a ${\mathcal {S}}$. Denominámola $\sigma$-álxebra xerada por ${\mathcal {S}}$.

• Dado un conxunto $A\subset X$, denominamos $\sigma$-álxebra inducida a $\Sigma _{A}=\{A\cap E\colon \ E\in \Sigma \}$. Esta é unha $\sigma$-álxebra sobre o conxunto $A$.

Funcións medibles e $\sigma$-álxebras

Dicimos que unha función $f:(X_{1},\Sigma _{1})\to (X_{2},\Sigma _{2})$ é medible se a preimaxe dun conxunto medible en $(X_{2},\Sigma _{2})$ é medible en $(X_{1},\Sigma _{1})$, isto é, se para cada $A\in \Sigma _{2}$ tese que $f^{-1}(A)\in \Sigma _{1}$.

A noción de función medible motiva a definición das seguintes $\sigma$-álxebras:

• $\sigma$-álxebra mínima: tratase da mínima $\sigma$-álxebra (no sentido da inclusión) sobre $X_{1}$ tal que a función $f:(X_{1},\Sigma _{1})\to (X_{2},\Sigma _{2})$ é medible.

• $\sigma$-álxebra máxima: trátase da máxima $\sigma$-álxebra (no sentido da inclusión) sobre $X_{2}$ tal que a función $f:(X_{1},\Sigma _{1})\to (X_{2},\Sigma _{2})$ é medible.

Bibliografía

• Robert G. Bartle (1995). The Elements of Integration and Measure Theory. Wiley. ISBN 0471042226. 
• Castillo, F. del Florencio (1987). Análisis matemático II. Madrid: Alhambra. ISBN 8420515795.