Sigma-álxebra

estrutura algébrica pechada con relación á unión, intersección e complemento numerábeis.

En análise matemática e teoría da probabilidade, unha σ-álxebra sobre un conxunto X é unha colección non baleira Σ de subconxuntos de X pechados baixo a complementación, a unión numerable e a intersección numerable. O par ordenado chámase espazo medible.

Definición

editar

Dado un conxunto non baleiro  , e   o seu conxunto de partes, dicimos que   é unha  -álxebra en   se se satisfán as seguintes condicións:[1]

  • O conxunto baleiro   e o conxunto total   son elementos de  .
  • Dado un elemento  , o seu conxunto complementario   tamén pertence a  .
  • ( -aditividade) Dado un conxunto numerable  , o conxunto unión   tamén pertence a  .

Dado   un conxunto e   unha  -álxebra en  , chamamos espazo medible ao par formado por  .

Propiedades das -álxebras

editar

Sexa   un espazo medible. Pódese demostrar que

  • (Aditividade finita) Dado un conxunto finito   de elementos de  , o conxunto unión (finita)   tamén é un elemento de  .
  • Dado un conxunto numerable   de elementos de  , o conxunto intersección (numerable)   tamén pertence a  . Desta propiedade dedúcese que tamén ocorre o mesmo para a intersección finita de elementos de  .
  • Dados dous elementos   de  , o conxunto   tamén pertence a  .

Exemplos de -álxebras

editar
  • Chamamos  -álxebra trivial á  -álxebra formada polo conxunto baleiro e o total:  . Trátase da  -álxebra máis pequena sobre  .
  • A maior  -álxebra posible sobre   é o conxunto  . Calquera  -álxebra   sobre   satisfai que  .
  • Dadas dúas  -álxebras   e  , a súa intersección   é tamén unha  -álxebra en  .
  • Dado un subconxunto  , a menor  -álxebra sobre   que contén a   é  .
  • Dado  , a menor  -álxebra sobre   que contén a   é a intersección de todas as  -álxebras que conteñen a  . Denominámola  -álxebra xerada por  .
  • Dado un conxunto  , denominamos  -álxebra inducida a  . Esta é unha  -álxebra sobre o conxunto  .

Funcións medibles e -álxebras

editar

Dicimos que unha función   é medible se a preimaxe dun conxunto medible en   é medible en  , isto é, se para cada   tense que  .

A noción de función medible motiva a definición das seguintes  -álxebras:

σ-álxebra mínima

editar

Sexa   un conxunto,   un espazo medíbel e   unha aplicación.

Daquela, a familia

 

é unha  -álxebra sobre  .

Por construción, esta é a mínima  -álxebra (no sentido da inclusión) sobre   tal que a función   é medíbel.

σ-álxebra máxima

editar

Sexa   un espazo medíbel,   un conxunto e   unha aplicación.

Daquela, a familia

 

é unha  -álxebra sobre  .

Trátase da máxima  -álxebra (no sentido da inclusión) sobre   tal que a función   é medíbel.

-álxebra de Lebesgue

editar
  1. "11. Measurable Spaces". Random: Probability, Mathematical Statistics, Stochastic Processes. University of Alabama in Huntsville, Department of Mathematical Sciences. Consultado o 30 March 2016. 

Véxase tamén

editar

Bibliografía

editar

Outros artigos

editar

Ligazóns externas

editar