Sigma-álxebra
En análise matemática e teoría da probabilidade, unha σ-álxebra sobre un conxunto X é unha colección non baleira Σ de subconxuntos de X pechados baixo a complementación, a unión numerable e a intersección numerable. O par ordenado chámase espazo medible.
Definición
editarDado un conxunto non baleiro , e o seu conxunto de partes, dicimos que é unha -álxebra en se se satisfán as seguintes condicións:[1]
- O conxunto baleiro e o conxunto total son elementos de .
- Dado un elemento , o seu conxunto complementario tamén pertence a .
- ( -aditividade) Dado un conxunto numerable , o conxunto unión tamén pertence a .
Dado un conxunto e unha -álxebra en , chamamos espazo medible ao par formado por .
Propiedades das -álxebras
editarSexa un espazo medible. Pódese demostrar que
- (Aditividade finita) Dado un conxunto finito de elementos de , o conxunto unión (finita) tamén é un elemento de .
- Dado un conxunto numerable de elementos de , o conxunto intersección (numerable) tamén pertence a . Desta propiedade dedúcese que tamén ocorre o mesmo para a intersección finita de elementos de .
- Dados dous elementos de , o conxunto tamén pertence a .
Exemplos de -álxebras
editar- Chamamos -álxebra trivial á -álxebra formada polo conxunto baleiro e o total: . Trátase da -álxebra máis pequena sobre .
- A maior -álxebra posible sobre é o conxunto . Calquera -álxebra sobre satisfai que .
- Dadas dúas -álxebras e , a súa intersección é tamén unha -álxebra en .
- Dado un subconxunto , a menor -álxebra sobre que contén a é .
- Dado , a menor -álxebra sobre que contén a é a intersección de todas as -álxebras que conteñen a . Denominámola -álxebra xerada por .
- Dado un conxunto , denominamos -álxebra inducida a . Esta é unha -álxebra sobre o conxunto .
Funcións medibles e -álxebras
editarDicimos que unha función é medible se a preimaxe dun conxunto medible en é medible en , isto é, se para cada tense que .
A noción de función medible motiva a definición das seguintes -álxebras:
σ-álxebra mínima
editar
|
Por construción, esta é a mínima -álxebra (no sentido da inclusión) sobre tal que a función é medíbel.
σ-álxebra máxima
editar
|
Trátase da máxima -álxebra (no sentido da inclusión) sobre tal que a función é medíbel.
-álxebra de Lebesgue
editarNotas
editar- ↑ "11. Measurable Spaces". Random: Probability, Mathematical Statistics, Stochastic Processes. University of Alabama in Huntsville, Department of Mathematical Sciences. Consultado o 30 March 2016.
Véxase tamén
editarBibliografía
editar- Robert G. Bartle (1995). The Elements of Integration and Measure Theory. Wiley. ISBN 0471042226.
- Castillo, F. del Florencio (1987). Análisis matemático II. Madrid: Alhambra. ISBN 8420515795.
Outros artigos
editarLigazóns externas
editar- "Algebra of sets". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].
- Sigma Algebra from PlanetMath.