Un espazo de medida é un obxecto básico da teoría da medida, unha rama das matemáticas que estuda as nocións xeneralizadas de volumes. Contén un conxunto subxacente, os subconxuntos deste conxunto que son factíbeis para medir (a σ-álxebra ) e o método que se usa para medir (a medida). Un exemplo importante de espazo de medida é un espazo de probabilidade.

Un espazo medíbel consta dos dous primeiros compoñentes sen unha medida específica.

Definición

editar

Un espazo de medida é unha terna   onde [1] [2]

  •   é un conxunto
  •   é unha σ-álxebra no conxunto  
  •   é unha medida en  

Noutras palabras, un espazo de medida consiste nun espazo medíbel   xunto cunha medida sobre el.

Exemplo

editar

Sexa  . A  -álxebra en conxuntos finitos como o anterior adoita ser o conxunto de partes, que é o conxunto de todos os subconxuntos (dun conxunto dado) e denotado por   Seguindo esta convención, estabelecemos  

Neste caso sinxelo, o conxunto de partes (ou conxunto potencia) pode escribirse de forma explícita:  

Como medida, definimos   por   así   (por adición de medidas) e   (por definición de medidas).

Isto leva ao espazo de medida   É un espazo de probabilidade, xa que   A medida   corresponde á distribución de Bernoulli con   que se usa, por exemplo, para modelar unha moeda xusta.

Clases importantes de espazos de medida

editar

As clases máis importantes de espazos de medidas defínense polas propiedades das súas medidas asociadas. Isto inclúe, por orde de xeneralidade crecente:

Outra clase de espazos de medida son os espazos de medida completa. [4]

  1. 1,0 1,1 Kosorok, Michael R. (2008). Introduction to Empirical Processes and Semiparametric Inference. New York: Springer. p. 83. ISBN 978-0-387-74977-8. 
  2. Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. p. 18. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. 
  3. 3,0 3,1 Anosov, D.V. (2001) [1994]. "Measure space". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 
  4. Klenke, Achim (2008). Probability Theory. Berlin: Springer. p. 33. ISBN 978-1-84800-047-6. doi:10.1007/978-1-84800-048-3. 

Véxase tamén

editar

Outros artigos

editar

Ligazóns externas

editar