Función medible

función entre espazos medíbeis

En matemáticas, e en particular na teoría da medida, unha función medible é unha función entre os conxuntos subxacentes de dous espazos medíbeis que preserva a estrutura dos espazos: a preimaxe de calquera conxunto medíbel é medíbel. Isto é en analoxía directa coa definición de que unha función continua entre espazos topolóxicos preserva a estrutura topolóxica: a preimaxe de calquera conxunto aberto é aberto. Na análise real, utilízanse funcións medíbeis na definición da integral de Lebesgue. Na teoría da probabilidade, unha función medíbel nun espazo de probabilidade coñécese como variábel aleatoria.

Definición

editar

Imos mostrar dúas defincións de función medíbel, unha delas máis usada na Teoría da medida e outra de uso máis frecuente na Teoría da probabilidade:

  • Sexan os espazos medíbeis   e  , significando que   e   son conxuntos equipados con cadansúa  -álxebras   e   Unha función   dise medíbel se para todo   a preimaxe de   baixo   está en  ; isto é, para todo   temos  .[1]
  • Consideremos o espazo medible  . Sexan   e   (onde   é a recta real estendida). Dicimos que   é medible en   se   para todo  . [1]

Función característica dun conxunto

editar

Dado  , a función indicadora ou función característica de   é a seguinte función medible En efecto, dado   temos que e nos tres casos obtemos un conxunto pertencente á  -álxebra.

Propiedades das funcións medibles

editar
  • Consideremos   e   unha función medible. Para cada   con   temos que a restricción de   a   é medible en  
  • Consideremos unha colección numerable de conxuntos medibles   e   unha función medible en cada  . Temos que   é medible no conxunto  
  • Unha función  , con   un conxunto medible, é medible se, e só se,   para cada   aberto e, ademais,  
  • Dadas   con   un conxunto medible, tamén serán funcións medibles  , con  

Propiedades das funcións características

editar
  •  
  • Se  , entón  .
  •  
  •  
  •  
  •  

Definición de función simple e función simple medible

editar

Dado un subconxunto  , dicimos que unha función   é unha función simple se existen

  • Unha colección de conxuntos   disxuntos dous a dous cuxa unión coincida co conxunto  
  • Unha colección de escalares  

de maneira que  Se, considerando agora o espazo medible  , temos que   e a colección de conxuntos é tal que  , entón a función   chamarase función simple medible.

  1. 1,0 1,1 "Measurable Functions" (PDF). Universidade Alberta. p. 1. 

Véxase tamén

editar

Bibliografía

editar
  • Bartle, R.G.B (1995). The elements of integration and Lebesgue Measure. Wisley. 
  • Del Castillo, F (1987). Análisis Matemático II. Alhambra. 
  • Cohn, D. L. (2013). Measure Theory. Birkhauser. 
  • de Barra, G. (1981). Measure Theory and Integration. John Wiley. 
  • de Barra, G. (2015). Measure Theory and fine properties of functions. Chapman and Hall. 
  • de Barra, G. (2005). Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces. Princeton University Press. 

Outros artigos

editar

Ligazóns externas

editar