Función medible
En matemáticas, e en particular na teoría da medida, unha función medible é unha función entre os conxuntos subxacentes de dous espazos medíbeis que preserva a estrutura dos espazos: a preimaxe de calquera conxunto medíbel é medíbel. Isto é en analoxía directa coa definición de que unha función continua entre espazos topolóxicos preserva a estrutura topolóxica: a preimaxe de calquera conxunto aberto é aberto. Na análise real, utilízanse funcións medíbeis na definición da integral de Lebesgue. Na teoría da probabilidade, unha función medíbel nun espazo de probabilidade coñécese como variábel aleatoria.
Definición
editarImos mostrar dúas defincións de función medíbel, unha delas máis usada na Teoría da medida e outra de uso máis frecuente na Teoría da probabilidade:
- Sexan os espazos medíbeis e , significando que e son conxuntos equipados con cadansúa -álxebras e Unha función dise medíbel se para todo a preimaxe de baixo está en ; isto é, para todo temos .[1]
- Consideremos o espazo medible . Sexan e (onde é a recta real estendida). Dicimos que é medible en se para todo . [1]
Función característica dun conxunto
editarDado , a función indicadora ou función característica de é a seguinte función medible En efecto, dado temos que e nos tres casos obtemos un conxunto pertencente á -álxebra.
Propiedades das funcións medibles
editar- Consideremos e unha función medible. Para cada con temos que a restricción de a é medible en
- Consideremos unha colección numerable de conxuntos medibles e unha función medible en cada . Temos que é medible no conxunto
- Unha función , con un conxunto medible, é medible se, e só se, para cada aberto e, ademais,
- Dadas con un conxunto medible, tamén serán funcións medibles , con
Propiedades das funcións características
editar- Se , entón .
Definición de función simple e función simple medible
editarDado un subconxunto , dicimos que unha función é unha función simple se existen
- Unha colección de conxuntos disxuntos dous a dous cuxa unión coincida co conxunto
- Unha colección de escalares
de maneira que Se, considerando agora o espazo medible , temos que e a colección de conxuntos é tal que , entón a función chamarase función simple medible.
Notas
editar- ↑ 1,0 1,1 "Measurable Functions" (PDF). Universidade Alberta. p. 1.
Véxase tamén
editarBibliografía
editar- Bartle, R.G.B (1995). The elements of integration and Lebesgue Measure. Wisley.
- Del Castillo, F (1987). Análisis Matemático II. Alhambra.
- Cohn, D. L. (2013). Measure Theory. Birkhauser.
- de Barra, G. (1981). Measure Theory and Integration. John Wiley.
- de Barra, G. (2015). Measure Theory and fine properties of functions. Chapman and Hall.
- de Barra, G. (2005). Real Analysis: Measure Theory, Integration, and Hilbert Spaces. Princeton University Press.